Обозначение v на v: Что значит v — Значения слов

Содержание

Обозначения буквенно-цифровые в электрических схемах

Первая
буква кода

(обязательная)
Группа видов элементов Примеры видов элементов Двухбуквенный код
A
Устройство
(общее обозначение)


B

Преобразователи неэлектрических величин в электрические (кроме генераторов и источников питания) или наоборот аналоговые или многоразрядные преобразователи или датчики для указания или измерения

Громкоговоритель
BA
Магнитострикционный
элемент
BB
Детектор ионизирующих
элементов
BD
Сельсин — приемник
BE
Телефон (капсюль)
BF
Сельсин — датчик
BC
Тепловой датчик
BK
Фотоэлемент
BL
Микрофон
BM
Датчик давления
BP
Пьезоэлемент
BQ
Датчик частоты вращения (тахогенератор)
BR
Звукосниматель
BS
Датчик скорости
BV
C Конденсаторы


D
Схемы интегральные,
микросборки
Схема интегральная аналоговая
DA
Схема интегральная, цифровая, логический элемент
DD
Устройство хранения информации
DS
Устройство задержки
DT
E
Элементы разные
Нагревательный элемент
EK
Лампа осветительная
EL
Пиропатрон
ET
F
Разрядники, предохранители,
устройства защитные
Дискретный элемент защиты по току мгновенного действия
FA
Дискретный элемент защиты по току инерционного действия
FP
Предохранитель плавкий
FU
Дискретный элемент защиты по напряжению, разрядник
FV
G Генераторы, источники питания
Батарея
GB
H Элементы индикаторные и сигнальные
Прибор звуковой сигнализации
HA
Индикатор символьный
HG
Прибор световой сигнализации
HL
K
Реле, контакторы,
пускатели
Реле токовое
KA
Реле указательное
KH
Реле электротепловое
KK
Контактор, магнитный пускатель
KM
Реле времени
KT
Реле напряжения
KV
L Катушки индуктивности, дроссели
Дроссель люминесцентного
освещения
LL
M Двигатели

P

Приборы, измерительное оборудование

Примечание. Сочетание PE применять не допускается

Амперметр
PA
Счётчик импульсов
PC
Частотометр
PF
Счётчик активной энергии
PI
Счётчик реактивной энергии
PK
Омметр
PR
Регистрирующий прибор
PS
Часы, измеритель времени действия     
PT
Вольтметр
PV
Ваттметр
PW
Q Выключатели и разъединители в силовых цепях
Выключатель автоматический
QF
Короткозамыкатель
QK
Разъединитель
QS
R Резисторы
Терморезистор
RK
Потенциометр
RP
Шунт измерительный
RS
Варистор
RU

S
Устройства коммутационные в цепях управления, сигнализации и измерительных.

Примечание. Обозначение SF применяют для аппаратов не имеющих контактов силовых цепей

Выключатель или переключатель
SA
Выключатель кнопочный
SB
Выключатель автоматический
SF
Выключатели, срабатывающие от различных воздействий:

– от уровня

SL
– от давления
SP
– от положения (путевой)
SQ
– от частоты вращения
SR
– от температуры
SK
T Трансформаторы, автотрансформаторы
Трансформатор тока
TA
Электромагнитный стабилизатор
TS
Трансформатор напряжения
TV
U
Устройства связи.
Преобразователи электрических величин в электрические
Модулятор
UB
Демодулятор
UR
Дискриминатор
UI
Преобразователь частоты, инвертор, генератор частоты, выпрямитель
UZ
V Приборы электровакуумные, полупроводниковые
Диод, стабилитрон
VD
Прибор электровакуумный
VL
Транзистор
VT
Тиристор
VS
W
Линии и элементы СВЧ
Антенны
Ответвитель
WE
Короткозамыкатель
WK
Вентиль
WS
Трансформатор, неоднородность, фазовращатель
WT
Аттенюатор
WU
Антенна
WA
X Соединения контактные
Токосъёмник, контакт скользящий
XA
Штырь
XP
Гнездо
XS
Соединение разборное
XT
Соединитель
высокочастотный
XW
Y Устройства механические с электромагнитным приводом
Электромагнит
YA
Тормоз с электромагнитным
приводом
YB
Муфта с электромагнитным
приводом
YC
Электромагнитный патрон или плита
YH
Z

Устройства оконечные
Фильтры. Ограничители

Ограничитель
ZL
Фильтр кварцевый ZQ

Список обозначений в физике — это… Что такое Список обозначений в физике?

Список обозначений в физике включает обозначения понятий в физике из школьного и университетского курсов. Также включены и общие математические понятия и операции для того, чтобы сделать возможным полное прочтение физических формул.

Для обозначения физических величин и понятий в физике используются буквы латинского и греческого алфавитов, а также несколько специальных символов и диакритических знаков. Поскольку количество физических величин больше количества букв в латинском и греческом алфавитах, одни и те же буквы используются для обозначения различных величин. Для некоторых физических величин принято несколько обозначений (например для энергии, скорости, длины и других), чтобы предотвратить путаницу с другими величинами в данном разделе физики.

В печатном тексте математические обозначения, использующие латиницу, принято писать курсивом. Названия функций, а также цифры и греческие буквы оставляют прямыми. Буквы также могут быть записаны различными шрифтами для того, чтобы различать природу величин или математических операций. В частности принято обозначать жирным шрифтом векторные величины, а тензорные величины — рубленым шрифтом. Иногда также для обозначения используется готический шрифт. Интенсивные величины обычно обозначаются строчными, а экстенсивные — заглавными буквами.

В силу исторических причин, многие из обозначений используют латинские буквы — от первой буквы слова, обозначающего понятие на иностранном языке (преимущественно латинском, английском, французском и немецком). Когда такая связь существует, это обозначено в скобках. Среди латинских букв для обозначения физических величин практически не используется буква .

Для обозначения некоторых величин иногда используют несколько букв или и отдельные слова или аббревиатуры. Так, постоянная величина в формуле обозначается часто как const. Дифференциал обозначается малой буквой d перед названием величины, например dx.

Латинские названия математических функций и операций, которые часто используются в физике:

Крупные греческие буквы, которые в написании похожи на латинские () используются очень редко.

Кириллические буквы сейчас очень редко используются для обозначения физических величин, хотя частично применялись в русскоязычной научной традиции. Одним примером использования кириллической буквы в современной международной научной литературе есть обозначения инварианта Лагранжа буквой Ж. Гребень Дирака иногда обозначают буквой Ш, так как график функции визуально схож с формой буквы.

В круглых скобках указывается одна или несколько переменных, от которых зависит физическая величина. Например, f(x, y) означает, что величина f является функцией x и y.

Диакритические знаки добавляются к символу физической величины для обозначения определённых различий. Ниже диакрические знаки добавлены для примера к букве x.

Обозначения физических величин часто имеют нижний, верхний, или оба индекса. Обычно нижний индекс обозначает характерный признак величины, например ее порядковый номер, тип, проекцию и т. п.. Верхний индекс обозначает степень кроме случаев когда величина является тензором.

Для наглядного обозначения физических процессов и математических операций используются графические обозначения: Фейнмановские диаграммы, спиновые сети и графические обозначения Пенроуза.

Символ Значение и происхождение
Площадь (лат. area), векторный потенциал[1], работа (нем. Arbeit), амплитуда (лат. amplitudo), параметр вырождения, работа выхода (нем. Austrittsarbeit), коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, массовое число
Ускорение (лат. acceleratio), амплитуда (лат. amplitudo), активность (лат. activitas), коэффициент температуропроводности, вращательная способность, радиус Бора
Вектор магнитной индукции[1], барионный заряд (англ. baryon number), удельная газовая постоянная, вириальний коэффициент, функция Бриллюэна (англ. Brillion function), ширина интерференционной полосы (нем. Breite), яркость, постоянная Керра, коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения, коэффициент Эйнштейна для поглощения, вращательная постоянная молекулы
Вектор магнитной индукции[1], красивый кварк (англ. beauty/bottom quark), постоянная Вина, ширина (нем. Breite)
электрическая ёмкость (англ. capacitance), теплоёмкость (англ. heatcapacity), постоянная интегрирования (лат. constans), обаяние (англ. charm), коэффициенты Клебша-Гордана (англ. Clebsch-Gordan coefficients), постоянная Коттона-Мутона (англ. Cotton-Mouton constant), кривизна (лат. curvatura)
Скорость света (лат. celeritas), скорость звука (лат. celeritas), теплоемкость (англ. heat capacity), волшебный кварк (англ. charm quark), концентрация (англ. concentration), первая радиационная постоянная, Вторая радиационная постоянная
Вектор электрической индукции[1] (англ. electric displacement field), коэффициент диффузии (англ. diffusion coefficient), оптическая сила (англ. dioptric power), коэффициент прохождения, тензор квадрупольного электрического момента, угловая дисперсия спектрального прибора, линейная дисперсия спектрального прибора, коэффициент прозрачности потенциального барьера, де-плюс мезон (англ. Dmeson), де-ноль мезон (англ. Dmeson), диаметр (лат. diametros, др.-греч. διάμετρος)
Расстояние (лат. distantia), диаметр (лат. diametros, др.-греч. διάμετρος), дифференциал (лат. differentia), нижний кварк (англ. down quark), дипольный момент (англ. dipole moment), период дифракционной решётки, толщина (нем. Dicke)
Энергия (лат. energīa), напряжённость электрического поля[1] (англ. electric field), электродвижущая сила (англ. electromotive force), магнитодвижущая сила, освещенность (фр. éclairement lumineux), излучательная способность тела, модуль Юнга
2.71828…, электрон (англ. electron), элементарный электрический заряд (англ. elementaty electric charge), константа электромагнитного взаимодействия
Сила (лат. fortis), постоянная Фарадея (англ. Faraday constant), свободная энергия Гельмгольца (нем. freie Energie), атомный фактор рассеяния, тензор напряженности электромагнитного поля, магнитодвижущая сила, модуль сдвига
Частота (лат. frequentia), функция (лат. functia), летучесть (нем. Flüchtigkeit), сила (лат. fortis), фокусное расстояние (англ. focal length), сила осциллятора, коэффициент трения
Гравитационная постоянная (англ. gravitational constant), тензор Эйнштейна, свободная энергия Гиббса (англ. Gibbs free energy), метрика пространства-времени, вириал, парциальная мольная величина, поверхностная активность адсорбата, модуль сдвига, полный импульс поля, глюон (англ. gluon), константа Ферми, квант проводимости, электрическая проводимость, вес (нем. Gewichtskraft)
Ускорение свободного падения (англ. gravitational acceleration), глюон (англ. gluon), фактор Ланде, фактор вырождения, весовая концентрация, гравитон (англ. graviton), константа Калибровочные взаимодействия
Напряжённость магнитного поля[1], эквивалентная доза, энтальпия (англ. heat contents или от греческой буквы «эта», H — ενθαλπος[2]), гамильтониан (англ. Hamiltonian), функция Ганкеля (англ. Hankel function), функция Хевисайда (англ. Heaviside step function), бозон Хиггса (англ. Higgs boson), экспозиция, полиномы Эрмита (англ. Hermite polynomials)
Высота (нем. Höhe), постоянная Планка (нем. Hilfsgröße[3]), спиральность (англ. helicity)
cила тока (фр. intensité de courant), интенсивность звука (лат. intēnsiō), интенсивность света (лат. intēnsiō), cила излучения, сила света, момент инерции, вектор намагниченности
Мнимая единица (лат. imaginarius), единичный вектор
Плотность тока, момент импульса, функция Бесселя, момент инерции, полярный момент инерции сечения, внутреннее квантовое число, вращательное квантовое число, сила света, J/ψ-мезон
Мнимая единица, плотность тока, единичный вектор, внутреннее квантовое число, 4-вектор плотности тока
Каона (англ. kaons), термодинамическая константа равновесия, коэффициент электронной теплопроводности металлов, модуль всестороннего сжатия, механический импульс, постоянная Джозефсона
Коэффициент (нем. Koeffizient), постоянная Больцмана, теплопроводность, волновое число, единичный вектор
Момент импульса, индуктивность, функция Лагранжа (англ. Lagrangian), классическая функция Ланжевена (англ. Langevin function), число Лоренца (англ. Lorenz number), уровень звукового давления, полиномы Лагерра (англ. Laguerre polynomials), орбитальное квантовое число, энергетическая яркость, яркость (англ. luminance)
Длина (англ. length), длина свободного пробега (англ. length), орбитальное квантовое число, радиационная длина
Момент силы, вектор намагниченности (англ. magnetization), крутящий момент, число Маха, взаимная индуктивность, магнитное квантовое число, молярная масса
Масса (лат. massa), магнитное квантовое число (англ. magnetic quantum number), магнитный момент (англ. magnetic moment), эффективная масса, дефект массы, масса Планка
Количество (лат. numerus), постоянная Авогадро, число Дебая, полная мощность излучения, увеличение оптического прибора, концентрация, мощность
Показатель преломления, количество вещества, нормальный вектор, единичный вектор, нейтрон (англ. neutron), количество (англ. number), основное квантовое число, частота вращения, концентрация, показатель политропы, постоянная Лошмидта
Начало координат (лат. origo)
Мощность (лат. potestas), давление (лат. pressūra), полиномы Лежандра, вес (фр. poids), сила тяжести, вероятность (лат. probabilitas), поляризуемость, вероятность перехода, 4-импульс
Импульс (лат. petere), протон (англ. proton), дипольный момент, волновой параметр
Электрический заряд (англ. quantity of electricity), количество теплоты (англ. quantity of heat), обобщенная сила, энергия излучения, световая энергия, добротность (англ. quality factor), нулевой инвариант Аббе, квадрупольный электрический момент (англ. quadrupole moment), энергия ядерной реакции
Электрический заряд, обобщенная координата, количество теплоты (англ. quantity of heat), эффективный заряд, добротность
Электрическое сопротивление (англ. resistance), газовая постоянная, постоянная Ридберга (англ. R ydberg constant), постоянная фон Клитцинга, коэффициент отражения, сопротивление излучения (англ. resistance), разрешение (англ. resolution), светимость, пробег частицы, расстояние
Радиус (лат. radius), радиус-вектор, радиальная полярная координата, удельная теплота фазового перехода, удельная теплота плавления, удельная рефракция (лат. rēfractiō), расстояние
Площадь поверхности (англ. surface area), энтропия[4], действие, спин (англ. spin), спиновое квантовое число (англ. spin quantum number), странность (англ. strangeness), главная функция Гамильтона, матрица рассеяния (англ. scattering matrix), оператор эволюции, вектор Пойнтинга
Перемещение (итал. ь s’postamento), странный кварк (англ. strange quark), путь, пространственно-временной интервал (англ. spacetime interval), оптическая длина пути
Температура (лат. temperātūra), период (лат. tempus), кинетическая энергия, критическая температура, терм, период полураспада, критическая энергия, изоспин
Время (лат. tempus), истинный кварк (англ. true quark), правдивость (англ. truth), планковское время
Внутренняя энергия, потенциальная энергия, вектор Умова, потенциал Леннард-Джонса, потенциал Морзе, 4-скорость, электрическое напряжение
Верхний кварк (англ. up quark), скорость, подвижность, удельная внутренняя энергия, групповая скорость
Объём (фр. volume), напряжение (англ. voltage), потенциальная энергия, видность полосы интерференции, постоянная Верде (англ. Verdet constant)
Скорость (лат. vēlōcitās), фазовая скорость, удельный объём
Механическая работа (англ. work), работа выхода, W бозон, энергия, энергия связи атомного ядра, мощность
Скорость, плотность энергии, коэффициент внутренней конверсии, ускорение
Реактивное сопротивление, продольное увеличение
Переменная, перемещение, декартова координата, молярная концентрация, постоянная ангармоничности, расстояние
Гиперзаряд, силовая функция, линейное увеличение, сферические функции
декартова координата
Импеданс, Z бозон, атомный номер или зарядовое число ядра (нем. Ordnungszahl), статистическая сумма (нем. Zustandssumme), вектор Герца, валентность, полное электрическое сопротивление, угловое увеличение, волновое сопротивление вакуума
декартова координата
Символ Значение
Коэффициент теплового расширения, альфа-частицы, угол, постоянная тонкой структуры, угловое ускорение, матрицы Дирака, коэффициент расширения, поляризованность, коэффициент теплоотдачи, коэффициент диссоциации, удельная термоэлектродвижущая сила, угол Маха, коэффициент поглощения, натуральный показатель поглощения света, степень черноты тела, постоянная затухания
Угол, бета-частицы, скорость частицы разделена на скорость света, коэффициент квазиупругой силы, матрицы Дирака, изотермическая сжимаемость, адиабатическая сжимаемость, коэффициент затухания, угловая ширина полос интерференции, угловое ускорение
Гамма-функция, символы Кристофеля, фазовое пространство, величина адсорбции, циркуляция скорости, ширина энергетического уровня
Угол, фактор Лоренца, фотон, гамма-лучи, удельный вес, матрицы Паули, гиромагнитное отношение, термодинамический коэффициент давления, коэффициент поверхностной ионизации, матрицы Дирака, показатель адиабаты
Изменение величины (напр. ), оператор Лапласа, дисперсия, флуктуация, степень линейной поляризации, квантовый дефект
Небольшое перемещение, дельта-функция Дирака, дельта Кронекера
Электрическая постоянная, угловое ускорение, единичный антисимметричной тензор, энергия
Дзета-функция Римана
КПД, динамический коэффициент вязкости, метрический тензор Минковского, коэффициент внутреннего трения, вязкость, фаза рассеяния, эта-мезон
Статистическая температура, точка Кюри, термодинамическая температура, момент инерции, функция Хевисайда
Угол к оси X в плоскости XY в сферической и цилиндрической системах координат, потенциальная температура, температура Дебая, угол нутации, нормальная координата, мера смачивания, угол Каббибо, угол Вайнберга
Коэффициент экстинкции, показатель адиабаты, магнитная восприимчивость среды, парамагнитная восприимчивость
Космологическая постоянная, Барион, оператор Лежандра, лямбда-гиперон, лямбда-плюс-гиперон
Длина волны, удельная теплота плавления, линейная плотность, средняя длина свободного пробега, комптоновского длина волны, собственное значение оператора, матрицы Гелл-Мана
Коэффициент трения, динамическая вязкость, магнитная проницаемость, магнитная постоянная, химический потенциал, магнетон Бора, мюон , возведённая масса, молярная масса, коэффициент Пуассона, ядерный магнетон
Частота, нейтрино, кинематический коэффициент вязкости, стехиометрический коэффициент, количество вещества, ларморова частота, колебательное квантовое число
Большой канонический ансамбль, кси-нуль-гиперон, кси-минус-гиперон
Длина когерентности, коэффициент Дарси
Произведение, коэффициент Пельтье, вектор Пойнтинга
3.14159…, пи-связь, пи-плюс мезон, пи-ноль мезон
Удельное сопротивление, плотность, плотность заряда, радиус в полярной системе координат, сферической и цилиндрической системах координат, матрица плотности, плотность вероятности
Оператор суммирование, сигма-плюс-гиперон, сигма-нуль-гиперон, сигма-минус-гиперон
Электропроводность, механическое напряжение (измеряемое в Па), постоянная Стефана-Больцмана, поверхностная плотность, поперечное сечение реакции, сигма-связь, секторная скорость, коэффициент поверхностного натяжения, удельная фотопроводимость, дифференциальное сечение рассеяния, постоянная экранирования, толщина
Время жизни, тау-лептон, интервал времени, время жизни, период, линейная плотность зарядов, коэффициент Томсона, время когерентности, матрица Паули, тангенциальный вектор
Y-бозон
Магнитный поток, поток электрического смещения, работа выхода, язь, диссипативная функция Рэлея, свободная энергия Гиббса, поток энергии волны, оптическая сила линзы, поток излучения, световой поток, квант магнитного потока
Угол, электростатический потенциал, фаза, волновая функция, угол, гравитационный потенциал, функция, Золотое сечение, потенциал поля массовых сил
X-бозон
Частота Раби, температуропроводность, диэлектрическая восприимчивость, спиновая волновая функция
Волновая функция, апертура интерференции
Волновая функция, функция, функция тока
Ом, телесный угол, количество возможных состояний статистической системы, омега-минус-гиперон, угловая скорость прецессии, молекулярная рефракция, циклическая частота
Угловая частота, мезон, вероятность состояния, ларморова частота прецессии, Боровская частота, телесный угол, скорость течения

Справочник металлурга — обозначение элементов в сталях и сплавах

Обозначение элементов в сталях и сплавах

Наличие широкого сортамента выпускаемых сталей и сплавов, изготавливаемых в различных странах, обусловило необходимость их идентификации, однако до настоящего времени не существует единой системы маркировки сталей и сплавов, что создает определенные трудности для определения сварочных свойств применяемых сталей. Так в России и в странах СНГ (Украина, Казахстан, Белоруссия и др.) принята разработанная раннее в СССР буквенно-цифровая система обозначения марок сталей и сплавов, где согласно ГОСТу, буквами условно обозначаются названия элементов и способов выплавки стали, а цифрами — содержание элементов. Европейская система обозначений стали регламентирована стандартом EN 10027. Первая часть этого стандарта определяет порядок наименования сталей, а вторая часть регламентирует присвоение сталям порядковых номеров. В Японии наименование марок стали, как правило, состоит из нескольких букв и цифр. Буквенное обозначение определяет группу, к которой относится данная сталь, а цифры — ее порядковый номер в группе и свойство. В США существует несколько систем обозначения металлов и их сплавов. Это объясняется наличием нескольких организаций по стандартизации, к ним относятся АMS, ASME, ASTM, AWS, SAE, ACJ, ANSI, AJS. Вполне понятно, что такая маркировка требует дополнительного разъяснения и знания при торговле металлом, оформлении заказов и т. п. До настоящего времени международные организации по стандартизации не выработали единую систему маркировки сталей. В связи с этим существуют разночтения, приводящие к ошибкам в заказах и как следствие нарушения качества изделий. Принципы маркировки сталей в России
В России принята буквенно-цифровая система маркировки легированных сталей. Каждая марка стали содержит определенное сочетание букв и цифр. Легирующие элементы обозначаются буквами русского алфавита: Х — хром, Н — никель, В — вольфрам, М — молибден, Ф — ванадий, Т — титан, Ю — алюминий, Д — медь, Г — марганец, С — кремний, К — кобальт, Ц — цирконий, Р — бор, Ц —ниобий. Буква А в середине марки стали показывает содержание азота, а в конце марки — то, что сталь высококачественная. Для конструкционных марок стали первые две цифры показывают содержание углерода в сотых долях процента. Если содержание легирующего элемента больше 1%, то после буквы указывается его среднее значение в целых процентах. Если содержание легирующего элемента около 1% или меньше, то после соответствующей буквы цифра не ставится. В качестве основных легирующих элементов в конструкционных сталях применяют хром до 2 %, никель 1–4 %, марганец до 2 %, кремний 0,6–1,2 %. Такие легирующие элементы, как Мо, W, V, Ti, обычно вводят в сталь в сочетании с Cr, Ni с целью дополнительного улучшения тех или иных физико-механических свойств. В конструкционных сталях эти элементы обычно содержатся в следующих количествах, %: Мо 0,2–0,4; W 0,5–1,2; V 0,l–0,3; Ti 0,1–0,2.

Дополнения к марочным обозначениям высоко- и особовысококачественных сталей


Дополнение к марочному
обозначению стали
Первичная обработкаПоследующий переплав
ВДВакуумно-дуговой переплав
ВИВакуумно-индукционная выплавка
ИДВакуумно-индукционная выплавкаВакуумно-дуговой
ИПВакуумно-индукционная выплавкаПлазменно-дуговой
ИШВакуумно-индукционная выплавкаЭлектрошлаковый
ИЛВакуумно-индукционная выплавкаЭлектронно-лучевой
ГРГазокислородное рафинирование
ППлазменно-дуговой переплав
ПТПлазменная выплавка
ПДПлазменная выплавкаВакуумно-дуговой
ПЛПлазменная выплавкаЭлектронно-лучевой
ПППлазменная выплавкаПлазменно-дуговой
ПШПлазменная выплавкаЭлектрошлаковый
СШОбработка синтетическим шлаком
ШЭлектрошлаковый переплав
ШДЭлектрошлаковый переплавВакуумно-дуговой
ШЛЭлектрошлаковый переплавЭлектронно-лучевой
ШПЭлектрошлаковый переплавПлазменно-дуговой
ЭЛЭлектронно-лучевой переплав

В инструментальных сталях в начале обозначения марки стали ставится цифра, показывающая содержание углерода в десятых долях процента. Начальную цифру опускают, если содержание углерода около 1% или более. В обозначении марки подшипниковой стали входят: буква «Ш» и буквы, обозначающие легирующие элементы. За буквой «Х» (легированная хромом) приводят цифры, соответствующие массовой доле хрома в десятых долях процента (например, ШХ15, ШХ15СГ, ШХ20СГ). Буква «А» в конце марки любой стали указывает, что сталь относится к категории высококачественной (30ХГСА, У7А), в середине обозначения марки — что сталь легирована азотом (16Г2АФ), в начале марки — что сталь автоматная повышенной обрабатываемости резанием (А35Г). Буквы АС в начале марки указывают, что сталь автоматная со свинцом (АС35Г2). Особовысококачественную сталь обозначают добавлением через тире в конце марки буквы «Ш» или других букв (табл. 5.6). Это означает, что стал подвергалась электрошлаковому переплаву, обеспечивающему эффективную очистку от сульфидов и оксидов. В конце марки конструкционной стали могут быть дополнительные буквенные обозначения: ПП — сталь пониженной прокаливаемости, Л — литейная, К — сталь для котлов и др. Строительную сталь обозначают буквой «С» (строительная) и цифрами, условно соответствующими пределу текучести проката. Буква «К» в конце марки — вариант химического состава стали с повышенной коррозионной стойкостью в атмосфере, а буква «Т» — термоупрочненный прокат (например, С245, С345Т, С390К). При маркировке электротехнических сталей (1211, 1313, 2211 и т. д.) первая цифра обозначает класс по структурному состоянию и виду прокатки, вторая — содержание кремния, третья — потери на гистерезис, четвертая — группу по основной нормируемой характеристике. Вместе три первые цифры означают тип стали, а четвертая — порядковый номер этого типа стали. Для изготовления рельсов широкой колеи типов Р75, Р65, Р50 применяют стали марок М76, М74, где буква «М» указывает мартеновский способ выплавки, а цифры — среднее содержание углерода в сотых долях процента. В обозначение марки быстрорежущей стали входят: буква «Р», цифра, указывающая среднюю массовую долю вольфрама в процентах. Во всех быстрорежущих сталях массовая доля хрома составляет около 4 %, поэтому в обозначении марки букву «Х» не указывают. Ванадий, массовая доля которого в различных марках колеблется от 1 до 5 %, обозначается буквой «Ф» в марке, если его средняя массовая доля составляет более 2,5 %. Массовая доля углерода в марочном обозначении быстрорежущей стали не указывается, так как она пропорциональна массовой доле ванадия. Если быстрорежущая сталь легирована молибденом или кобальтом, их массовая доля указывается в марке. Например, быстрорежущую сталь, содержащую, %: 1,0–1,1 С ; 3,0–3,6 Cr; 8,5–9,6 W; 2,1–2,5 V; 7,5–8,5 Co; 3,8–4,3 Mo, обозначают Р9М4К8. Нестандартные легированные стали, выпускаемые заводом «Электросталь», обозначают сочетанием букв ЭИ (электросталь исследовательская) или ЭП (электросталь пробная). Легированную сталь, выпускаемую Златоустовским металлургическим заводом маркируют буквами ЗИ, заводом «Днепроспецсталь» — ДИ. Во всех случаях после сочетания букв идет порядковый номер стали, например ЭИ 417, ЭП 767, ЗИ 8, ДИ 8 и т. д. После освоения марки металлургическими и машиностроительными заводами условные обозначения заменяет общепринятая маркировка, отражающая химический состав стали. Литейные стали маркируются той же буквенно-цифровой системой, как и деформируемые, но в конце марки дополнительно ставится буква Л, что означает литейную сталь. Жесть в зависимости от назначения, качества поверхности и свойств делится на марки ЧЖК, ЧЖР, ГЖГ, ГЖР, ЭЖК, ЭЖК-Д, ЭЖР и ЭЖР-Д. Буквы в обозначении марок означают ЖК — жесть консервная, ЖР — жесть разного назначения, кроме тары для пищевых продуктов, Ч — черная, Г — горячего лужения, Э — электротехнического лужения, Д — жесть с дифференциальным покрытием. 

ГК РФ Статья 1483. Основания для отказа в государственной регистрации товарного знака

Перспективы и риски арбитражных споров. Ситуации, связанные со ст. 1483 ГК РФ

Правообладатель фирменного наименования или коммерческого обозначения хочет оспорить регистрацию товарного знака третьего лица как тождественного или сходного до степени смешения

Потенциальный правообладатель хочет оспорить отказ в регистрации товарного знака (признание ее недействительной) как тождественного или сходного до степени смешения с фирменным наименованием или коммерческим обозначением

Потенциальный правообладатель хочет оспорить отказ в регистрации товарного знака (признание ее недействительной) как ложного (вводящего в заблуждение) или противоречащего общественным интересам, принципам гуманности и морали

Потенциальный правообладатель хочет оспорить отказ в регистрации товарного знака (признание ее недействительной) как не обладающего различительной способностью

Третье лицо хочет оспорить регистрацию товарного знака как тождественного или сходного до степени смешения с известными произведением (его частью) или именем (псевдонимом)

См. все ситуации, связанные со ст. 1483 ГК РФ

 

1. Не допускается государственная регистрация в качестве товарных знаков обозначений, не обладающих различительной способностью или состоящих только из элементов:

1) вошедших во всеобщее употребление для обозначения товаров определенного вида;

2) являющихся общепринятыми символами и терминами;

3) характеризующих товары, в том числе указывающих на их вид, качество, количество, свойство, назначение, ценность, а также на время, место и способ их производства или сбыта;

4) представляющих собой форму товаров, которая определяется исключительно или главным образом свойством либо назначением товаров.

Указанные элементы могут быть включены в товарный знак как неохраняемые элементы, если они не занимают в нем доминирующего положения.

Абзац утратил силу с 1 октября 2014 года. — Федеральный закон от 12.03.2014 N 35-ФЗ.

(см. текст в предыдущей редакции)

1.1. Положения пункта 1 настоящей статьи не применяются в отношении обозначений, которые:

1) приобрели различительную способность в результате их использования;

2) состоят только из элементов, указанных в подпунктах 1 — 4 пункта 1 настоящей статьи и образующих комбинацию, обладающую различительной способностью.(п. 1.1 введен Федеральным законом от 12.03.2014 N 35-ФЗ)2. Не допускается государственная регистрация в качестве товарных знаков обозначений, которые относятся к объектам, не подлежащим правовой охране в соответствии со статьей 1231.1 настоящего Кодекса, или сходны с ними до степени смешения.(п. 2 в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. Не допускается государственная регистрация в качестве товарных знаков обозначений, представляющих собой или содержащих элементы:

1) являющиеся ложными или способными ввести в заблуждение потребителя относительно товара либо его изготовителя;

2) противоречащие общественным интересам, принципам гуманности и морали.

4. Не допускается государственная регистрация в качестве товарных знаков обозначений, тождественных или сходных до степени смешения с официальными наименованиями и изображениями особо ценных объектов культурного наследия народов Российской Федерации либо объектов всемирного культурного или природного наследия, а также с изображениями культурных ценностей, хранящихся в коллекциях, собраниях и фондах, если регистрация испрашивается на имя лиц, не являющихся их собственниками, без согласия собственников или лиц, уполномоченных собственниками, на регистрацию таких обозначений в качестве товарных знаков.

5. В соответствии с международным договором Российской Федерации не допускается государственная регистрация в качестве товарных знаков обозначений, представляющих собой или содержащих элементы, которые охраняются в одном из государств — участников этого международного договора в качестве обозначений, позволяющих идентифицировать вина или спиртные напитки как происходящие с его территории (производимые в границах географического объекта этого государства) и имеющие особое качество, репутацию или другие характеристики, которые главным образом определяются их происхождением, если товарный знак предназначен для обозначения вин или спиртных напитков, не происходящих с территории данного географического объекта.

6. Не могут быть зарегистрированы в качестве товарных знаков обозначения, тождественные или сходные до степени смешения с:

1) товарными знаками других лиц, заявленными на регистрацию (статья 1492) в отношении однородных товаров и имеющими более ранний приоритет, если заявка на государственную регистрацию товарного знака не отозвана, не признана отозванной или по ней не принято решение об отказе в государственной регистрации;(в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2) товарными знаками других лиц, охраняемыми в Российской Федерации, в том числе в соответствии с международным договором Российской Федерации, в отношении однородных товаров и имеющими более ранний приоритет;

3) товарными знаками других лиц, признанными в установленном настоящим Кодексом порядке общеизвестными в Российской Федерации товарными знаками, в отношении однородных товаров с даты более ранней, чем приоритет заявленного обозначения.(в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Регистрация в качестве товарного знака в отношении однородных товаров обозначения, сходного до степени смешения с каким-либо из товарных знаков, указанных в подпунктах 1 и 2 настоящего пункта, допускается с согласия правообладателя при условии, что такая регистрация не может явиться причиной введения в заблуждение потребителя. Согласие не может быть отозвано правообладателем.(в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Положения, предусмотренные абзацем пятым настоящего пункта, не применяются в отношении обозначений, сходных до степени смешения с коллективными знаками.(абзац введен Федеральным законом от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

7. Не могут быть зарегистрированы в качестве товарных знаков в отношении любых товаров обозначения, тождественные или сходные до степени смешения с географическим указанием или наименованием места происхождения товара, охраняемыми в соответствии с настоящим Кодексом, а также с обозначением, заявленным на регистрацию в качестве такового до даты приоритета товарного знака, за исключением случая, если такое географическое указание или такое наименование либо сходное с ними до степени смешения обозначение включено как неохраняемый элемент в товарный знак, регистрируемый на имя лица, имеющего право использования такого географического указания или такого наименования, при условии, что регистрация товарного знака осуществляется в отношении тех же товаров, для индивидуализации которых зарегистрировано такое географическое указание или такое наименование места происхождения товара.

(п. 7 в ред. Федерального закона от 26.07.2019 N 230-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

8. Не могут быть в отношении однородных товаров зарегистрированы в качестве товарных знаков обозначения, тождественные или сходные до степени смешения с охраняемым в Российской Федерации фирменным наименованием или коммерческим обозначением (отдельными элементами таких наименования или обозначения) либо с наименованием селекционного достижения, зарегистрированного в Государственном реестре охраняемых селекционных достижений, права на которые в Российской Федерации возникли у иных лиц ранее даты приоритета регистрируемого товарного знака.

9. Не могут быть зарегистрированы в качестве товарных знаков обозначения, тождественные:

1) названию известного в Российской Федерации на дату подачи заявки на государственную регистрацию товарного знака (статья 1492) произведения науки, литературы или искусства, персонажу или цитате из такого произведения, произведению искусства или его фрагменту, без согласия правообладателя, если права на соответствующее произведение возникли ранее даты приоритета регистрируемого товарного знака;(в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3) промышленному образцу, знаку соответствия, права на которые возникли ранее даты приоритета регистрируемого товарного знака.

(в ред. Федерального закона от 04.10.2010 N 259-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Положения настоящего пункта применяются также в отношении обозначений, сходных до степени смешения с указанными в нем объектами.

(абзац введен Федеральным законом от 12.03.2014 N 35-ФЗ)10. Не могут быть зарегистрированы в качестве товарных знаков в отношении однородных товаров обозначения, элементами которых являются охраняемые в соответствии с настоящим Кодексом средства индивидуализации других лиц, сходные с ними до степени смешения обозначения, а также объекты, указанные в пункте 9 настоящей статьи.Государственная регистрация в качестве товарных знаков таких обозначений допускается при наличии соответствующего согласия, предусмотренного пунктом 6 и подпунктами 1 и 2 пункта 9 настоящей статьи.(п. 10 в ред. Федерального закона от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

11. По основаниям, предусмотренным настоящей статьей, правовая охрана также не предоставляется товарным знакам, зарегистрированным в соответствии с международными договорами Российской Федерации.

(п. 11 введен Федеральным законом от 12.03.2014 N 35-ФЗ)

Что означают буквенные обозначения в названии аппаратов KYOCERA

ВЫЗОВ ИНЖЕНЕРА

Время работы с 9:00 до 18:00 по будним дням

Вызовы по договорам обслуживания и сервисным контрактам — бесплатные.

Как ориентироваться в широком модельном ряду печатающей техники KYOCERA? Название модели принтера или МФУ – это не просто набор букв и цифр. Зная основные закономерности, можно из названия модели узнать основные ее характеристики.

Рассмотрим 2 основные линейки: ECOSYS и TASKalfa.
У моделей ECOSYS:
> Первая буква обозначает вид печатающего устройства: буква M – означает МФУ, P – принтер.
> Затем, как правило, идут 4 цифры, последние из которых показывают скорость печати аппарата.
> «d» после цифр означает наличие функции двусторонней печати, проще говоря, «дуплекс».
> «n» после цифр означает, что принтер/МФУ имеют возможность к сетевому подключению.
> «w» показывает наличие модуля wi-fi.
> «c» означает, что эта модель с полноцветной печатью.
> «i» — означает встроенную систему HyPas, облегчающую работу с приложениями по оптимизации документооборота.
Рассмотрим пример, модель ECOSYS P8060cdn – это цветной принтер с дуплексной печатью, сетью и скоростью печати 60 стр./мин.

У моделей TASKalfa (актуального модельного ряда):
> Если в названии 3 цифры (например, TASKalfa 358ci), то это МФУ формата А4,
если 4 цифры (например, TASKalfa 2553ci) — формат А3.
> Скорость печати можно определить по первым двум цифрам названия (например, TASKalfa 4012i – скорость печати 40 стр./мин.)
> «c» после цифр означает – полноцветную печать,
> «i» — наличие системы HyPas.

 Надеемся, Вам понятнее стало обозначение моделей многофункциональных устройств и принтеров KYOCERA. Если у Вас останутся сложности в выборе модели – менеджеры ГК «ОЛВИТ» с удовольствием Вам помогут подобрать наиболее эффективную и выгодную модель под задачи Вашего офиса.


Возврат к списку


Буквенное обозначение фазы и нуля в электрике

Часто новички при взгляде на электросхемы чувствуют себя так, словно эти схемы написаны на китайском и долго не могут разобраться, что же такое $N$ и $L$ в электричестве и с какой стороны подойти к схеме.

Однако, не всё так сложно и у бывалых электриков не возникает вопросов, что же означает та или иная буква и как обозначается фаза и ноль в электрике. Давайте и мы с вами разбираться что к чему.

Как обозначается фаза в электричестве

Определение 1

Фазой в народе называют провод с электрическим током.

Если вы имеете дело с проводом, в котором только одна жила — фаза, то есть токопроводящая, то на схеме для обозначения фазы будет использоваться латинская буква $L$.

В случае же если вам приходится иметь дело со всеми тремя фазами (например, если вам по какой-то причине пришлось залезть в щиток в подъезде) — то все три фазы будут обозначаться буквами $L1$, $L2$, $L3$ соответственно.

Также для трёхфазной системы электроснабжения для обозначения всех трёх фазовых проводников возможно использование букв $A$, $B$, $C$, но по ГОСТ 2.709-89 для России более желательными обозначениями для фазовых проводов являются обозначения $L1$, $L2$, $L3$.

Трёхфазная цепь с тремя проводами называется трёхпроводной, тогда как трёхфазная цепь с четырьмя проводами, один из которых нулевой, а остальные — фазовые, называется четырёхпроводной.

Как обозначается нуль в электричестве

Из уроков физики в школе кто-то, возможно, помнит, что ток может течь только по замкнутым контурам.

Определение 2

Нулевой провод — это как раз провод, необходимый для того чтобы сделать электрический контур замкнутым.

По этому проводу происходит возвращение остаточного тока.

На схеме ноль обозначается буквой $N$, а если нулевой провод совмещён с защитным нулевым (т.е. с заземлением), то такой проводник будет обозначаться буквами $PEN$.

Готовые работы на аналогичную тему

Обозначение нулевого провода буквой $N$ произошло от английского neutral, что переводится как “нейтральный”.

Теперь, наверное, вам стало понятнее, как обозначают фазу и ноль в электрике.

Ниже приведена упрощённая схема снабжения обычной жилой квартиры электрическим током с данными обозначениями:

Рисунок 1. Обозначение фазы и нуля на схеме

На рис. 1 представлена упрощённая схема проведения одного фазного провода в квартиру от трёхфазного источника тока вместе с нулевым проводом, для которого использовано обозначение $N$. Буква же $L$ используется для обозначения фазы как обычно принято в электрике.

На рис. 2 изображено осуществление заземления непосредственно у источника тока, а символами $R_H$ обозначено сопротивление некоторого потребителя тока.

Также на этом рисунке видно, что нулевой провод проведён в квартиру непосредственно от источника тока. При этом заземлён рабочий нулевой провод также у источника. Заземление на рисунке обозначено буквами $ЗМЛ$.

На рисунке 3 представлен другой вариант проведения фазного провода с осуществлением заземления в квартире. Этот вариант является неправильным.

Нулевой провод необходимо проводить непосредственно от источника тока, иначе электрический контур будет незамкнутым.

Рисунок 2. Пример обозначений фазы и нуля в электрических схемах: фаза, ноль и земля и используемые для них буквы

На данном рисунке представлено схематическое изображение подключения розетки.

Нулевой провод обозначен буквой $N$, фазовые напряжения — буквами $L1, L2, L3$, нулевой защитный провод, совмещённый с нейтральным рабочим и проведённый от трасформатора — буквами $PEN$, а заземление на розетке, проведённое от трансформатора – буквами $PE$.

Как видно из рисунка, чтобы измерить фазное напряжение на любом участке сети, необходимо подсоединить вольтметр к нулевому и фазовому проводу.

Заземление на рисунке представлено с помощью специального символа, о котором мы расскажем вам чуть ниже.

Обозначение земли в электрике

Для проводников с напряжением до $1$ кВ заземление обычно обозначают буквами $PE$, эта аббревиатура взята из английского от слов Protective Earthing, что дословно можно перевести как “защитная земля”.

Для обозначения заземления далеко не всегда используются именно буквы, очень часто на схемах используются специальные символьные обозначения, например:

Рисунок 3. Обозначение земли на схемах

Иногда также можно встретить буквенное обозначение $GRD$, оно также произошло от английского и является сокращением слова ground (русс. “земля”), а на первом рисунке из этой статьи использовалось обозначение $ЗМЛ$.

Ну вот и всё, и мы надеемся, что наша статья помогла вам и у вас больше не возникнет вопросов, как обозначаются фаза и ноль на схеме.

Знания того, какие обозначения используются для фазы, ноля и земли на схеме помогут вам с лёгкостью починить розетку, а если вы достаточно хорошо понимаете разницу между обозначениями $N$ $L$ в электрике — то вас никогда не ударит током.

Буквенные обозначения употребляемых в электротехнике величин

Буквенные обозначения наиболее употребляемых в электротехнике величин (ГОСТ 1494-77)

Примечания: 1. Запасные обозначения применяются, когда главные обозначения использовать нерационально, например, если могут возникнуть недоразумения вследствие обозначения одной и той же буквой разных величин. 2. Мгновенные значения ЭДС, электрического напряжения, потенциала, тока, плотности тока, электрического заряда, мощности, электромагнитной энергии следует обозначать соответствующими строчными буквами. 3. Для амплитудных значений величин, являющихся синусоидальными функциями времени, применяется нижний индекс ш (например, 1т).


Наименование величины

Обозначение

главное

запасное

1

2

3

Емкость электрическая

С

Заряд электрический

Q

Индуктивность взаимная

м

Lmn

Индуктивность собственная

L

Индукция магнитная

В

Коэффициент затухания

6

 

Коэффициент магнитного рассеивания

ст

 

Коэффициент мощности при синусоидальных напряжении и токе

cosφ

 

Коэффициент трансформации

п

 

Коэффициент трансформации трансформатора напряжения (TH)

К

Ки

Коэффициент трансформации трансформатора тока (ТТ)

К

Кт

Мощность, мощность активная

Р

Мощность полная

S

Ps

Мощность реактивная

Q

PQ

Напряжение электрическое

и

Напряженность магнитного поля

н

 

Напряженность электрического поля

Е

Период колебаний электрической или магнитной величины

Т

 

1

2

3

 

Плотность тока

J

 

Постоянная времени электрической цепи

т

т

 

Постоянная магнитная

Цо

 

Постоянная электрическая

So

 

Поток магнитный

Ф

 

Потокосцепление

V

 

Проводимость магнитная

Л

 

Проводимость электрическая активная

G

g

 

Проводимость электрическая полная

Y

 

Проводимость реактивная

В

ь

 

Сдвиг фаз между напряжением и током

Ф

 

Сила коэрцитивная

Не

 

Сила магнитодвижущая (МДС) вдоль замкнутого контура

F

Fm

 

Сила электродвижущая (ЭДС)

Е

 

Скольжение

s

 

Сопротивление магнитное

Rm

rm

 

Сопротивление электрическое, то же постоянному току, то же актив

 

 

 

ное

R

г

 

Сопротивление электрическое полное

Z

 

Сопротивление электрическое реактивное

X

X

 

Сопротивление электрическое удельное

Р

 

 

Ток

I

 

 

Частота колебаний электрической или магнитной величины

f

У

 

Частота колебаний угловая электрической или магнитной величины

со

Q

 

Число витков

N

W

 

Число пар полюсов

Р

 

Число фаз многофазной системы

m

 

 

Энергия электромагнитная

W

 

 

Обычная нотация — обзор

(i) Модули реализации и гомологии для EHA2 (2): Обозначим через EHA2 (2) класс расширенно-гиперболических алгебр Каца-Муди, чей ассоциированный GCM имеет вид 2 −4 − c − 12 − a − d − b2, то есть класс всех 3 × 3 GCM расширенного гиперболического типа, полученный из аффинной алгебры A2 (2), ассоциированной с GCM 2−4−12. Здесь a, b, c, d∈Z + и ab > 4 или cd > 4.

Сначала мы дадим реализацию для EHA2 (2), которая была сделана ранее в Sthanumoorthy et al.[81] как градуированная алгебра Ли типа Каца – Муди.

Рассмотрим аффинную алгебру Каца-Муди, ассоциированную с GCM A = 2−4−12. Пусть ( h , Π , Π ) будет реализацией A с Π = { α 1 , α 2 } и Π∨ = {α1 ∨, α2∨}. Тогда имеем следующие билинейные соотношения:

(α1, α1) = 4, (α1, α2) = — 2, (α2, α2) = 1.

Пусть α3 ′ — элемент в h * такой, что α3 ′ (α1∨) = 0, α3 ′ (α2∨) = 1, α3 ′ (α′∨3) = 0.Тогда (α3 ′, α1) = 0, (α3 ′, α2) = 12. Пусть a , b , p — три неотрицательных целых числа, такие что ab > 4 или ( bp 2 /4 a )> 4 и ( bp /4 a ) является целым числом с или ≠ 0. Определим

λ = 16a + 4abp + bp216a (2a + p) α1 + 16a − bp28a (2a + p) α2 + b + bp2aα3 ′.

Установить α 3 = — λ . Сформируем матрицу C = (〈αi, αj〉) i, j = 13. Тогда C = 2−4 − p − 12 − a − bp / 4a − b2 — симметризуемая ОКМ расширенно-гиперболического типа.Пусть V будет интегрируемым неприводимым модулем наибольшего веса по сравнению с G с наибольшим весом λ . Пусть V * будет контрастом V и ψ будет отображением, как определено ранее. Пусть G — алгебра Каца-Муди, связанная с GCM 2−4−12. Сформируйте градуированную алгебру Ли L ( G , V , V *, ψ ). Тогда L G ( C ) с C = 2−4 − p − 12 − a − bp / 4a − b2.Таким образом, L является симметризуемой алгеброй Каца-Муди расширенного гиперболического типа, ассоциированной с матрицей Картана, которая является расширением матрицы Картана A2 (2). В общем, мы обозначаем класс расширенно-гиперболических алгебр Каца-Муди, ассоциированный с указанным выше GCM, через EHA2 (2). Модули гомологии до уровня 3 для p ≥ 0 были вычислены в Sthanumoorthy et al. [81]. Из реализации L = EHA2 (2) как L = L L 0 L + = G / I и с использованием инволютивного автоморфизма Достаточно изучить отрицательную часть L = G / I .

(ii). Структура максимального идеала в EHA2 (2): В этом разделе мы исследуем общий случай p ≥ 0 ( p = 0 было сделано ранее в Sthanumoorthy et al. [81]). Сначала исследуем структуру максимального градуированного идеала I . Мы знаем, что идеал I из G порождается гомологическим подпространством I −2 , и поэтому мы можем записать I− = I− (2). Аналогично для j ≥ 2 запишем I− (j) = Σn≥jI − n, L− (j) = G / I− (j) и N− (j) = I− (j) / I — (j + 1).Согласно гомологической теории, описанной ранее, в общем случае I — ( j +1) ≅ (V⊗I − j) / h4 (L− (j)) — (j + 1) для j ≥ 2. Поскольку G является свободным, а I генерируется подпространством I −2 из точной пятичленной последовательности Хохшильда-Серра, мы видим, что I -2 H 2 ( L ). Но получаем H 2 ( L ) ≅ V (- ( b + 1) α 3 α 2 ) ⊕ V (- (1 + bp /4 a ) α 3 α 1 ).Следовательно, I −2 V (- ( b + 1) α 3 α 2 ) ⊕ V (- (1 + bp /4 а ) α 3 α 1 ). Когда j = 2, L− (2) совпадает с подпространством η ( S ) для S = {1,2}, и поэтому мы можем вычислить h4 (L− (2)) по формуле Костанта. В этом случае EHA2 (2) имеем

h4 (L− (2)) ≅V (- (ab + a) α3− (a + 1) α2) ⊕V (−α1−2α2− (2b + 1 + bp / 4a) α3) ⊕V (−5α1 − α2 — ((4a + 4ab + 5bp) / (4a)) α3) ⊕V (- (1 + p) α1− (pb / 4a) α3).

Таким образом,

h4 (L− (2)) — 3 = V (−3α3−3α2) ifb = 1, a = 2V (−3α3−3α1) ifb = 2a, p = 2 = 0, в противном случае

и, следовательно, мы получаем I − 3≅ (V⊗I − 2) / h4 (L− (2)) — 3, где h4 (L− (2)) — 3 дано выше. Чтобы определить высшие компоненты, мы объединяем теорию гомологических методов и спектральных последовательностей. Имеем I − 4≅ (V⊗I − 3) / h4 (L− (3)) — 4. Сначала вычислим h4 (L− (3)) — 4. Рассмотрим короткую точную последовательность и соответствующую спектральную последовательность {Ep, qr}, сходящуюся к H * (L− (3)), такую, что Ep, qr≅Hp (L− (2)) ⊗Λq (I − 2).Рассмотрим

. Обратите внимание, что h2 (L− (3)) ≅L− (3) / [L− (3), L− (3)] ≅L − 1 = V. Поскольку спектральная последовательность сходится к H * (L− (3)), имеем h2 (L− (3)) ≅E1,0∞⊕E0,1∞. Но

E1,0∞ = E0,1∞≅h2 (L− (2)) ≅L− (2) [L− (2), L− (2)] ≅L − 1 = V,

что следует E1,0∞ = E0,13 = 0. Следовательно, гомоморфизм d 2 сюръективен. Поскольку E2,02≅I − 2 и E2,02≅I − 2, d 2 должно быть изоморфизмом. Таким образом, E2,03 = 0. Следовательно, E2,0∞ = 0. Теперь рассмотрим последовательность. Мы имеем

E3,02≅h4 (L− (2)) ≅V (- (2b + 1 + bp / 4a) α3 − α1−2α2) ⊕V (- (ab + b) α3− (a + 1) α2) ⊕V (- (bp / 4a (p + 1)) α3− (p + 1) α1) ⊕V (- (4a + 4ab + 5bp) / (4a) α3−5α2−5α1 ) и E1,12≅h2 (L− (2)) ⊗I − 2≅V⊗I − 2.

Тогда V I −2 представляет собой прямую сумму неприводимых модулей над A2 (2) уровня b + 3 + bp /4 a . Затем, сравнивая уровни обоих членов E3,02 и E1,12 в, мы видим, что d 2 тривиально. Итак, E3,03 = E3,02 и E1,1∞ = E1,13 = E1,12≅V⊗I − 2. Поскольку I− (3) порождается I −3 , мы получаем h3 (L− (3)) ≅I − 3. Но имеем h3 (L− (3)) ≅E2,0∞⊕E1,1∞⊕E0,2∞. Отсюда следует, что E0,2∞ = E0,24 = 0.Следовательно, гомоморфизм сюръективен. Поскольку E0,2∞ является подмодулем E0,23≅Λ2 (I − 2), мы видим, что d 3 тривиально. Отсюда следует E3,0∞ = E3,04 = E3,03 = E3,02≅h4 (L− (2)) и E0,23 = 0. Таким образом, гомоморфизм сюръективен в следующей последовательности:

Опять же, сравнивая уровни, мы заключаем, что гомоморфизм должен быть тривиальным. Следовательно, E4,02 = E4,03 и

. Мы имеем d 2 S 2 ( I −2 ). Следовательно, E2,1∞≅S2 (I − 2).Теперь рассмотрим последовательность. Сравнивая уровни, мы видим, что гомоморфизм тривиален. Таким образом, E1,23 = E1,22≅V⊗Λ2 (I − 2). Опять же, сравнивая уровни членов в последовательности, мы видим, что d 3 тривиально. Следовательно, E1,2∞ = E1,24 = E1,23 = E1,22≅V⊗Λ2 (I − 2). Наконец, поскольку E0,3∞ является подмодулем E0,32≅Λ3 (I − 2), получаем

h4 (L− (3)) ≅V (- (2b + 1) α3 − α1−2α2) ⊕V (- (ab + b) α3− (a + 1) α2) ⊕V (- (4a + 4ab + 5bp) α3) α2−5α1) ⊕V (- (bp / 4a (p + 1)) α3− ( p + 1) α1) ⊕S2 (I − 2) ⊕V⊗Λ2 (I − 2) ⊕M,

, где M — неприводимое представление со старшим весом (уровня> 4) прямой суммы A2 (2) .Следовательно, получаем

h4 (L − 3) −4≅V (−4α3− (a + 1) α2), если a = 1, b = 2orb = 1, a = 3V (−4α3− (p + 1) α1) если bp = 4a, p = 3orbp = 8a, p = 1S2 (I − 2), если b = 1 = 0, в противном случае.

Теперь определим I −5 . Начнем с точной последовательности и соответствующей спектральной последовательности {Ep, qr}, сходящейся к H * (L− (4)) такой, что Ep, q2≅Hp (L− (3)) ⊗Λq (I − 3). Мы вычислим h4 (L− (4)) — 5 по этой спектральной последовательности. Легко показать, что это изоморфизм и что E2,0∞ = 0. Рассмотрим последовательность,

Из предыдущего уравнения получаем E3,02≅h4 (L− (3)) и E1,12≅h2 (L− (3)) ⊗I − 3≅V⊗I − 3 и уровень отличается в E3,02 и E1,12.Следовательно, d 2 = 0. Итак, h4 (L− (3)) = 0, и, следовательно, мы получаем h3 (L− (4)) ≅I − 4. Имеем E1,1∞ = E1,13 = E1,12 / Id2≅V⊗I − 3 / Id2 — прямое слагаемое в h3 (L− (4)). Таким образом, E0,2∞ = 0, откуда следует, что E0,24 = 0. Таким образом, гомоморфизм d 3 сюръективен в последовательности

Поскольку E0,23 является подмодулем E0,22≅Λ2 (I − 3), сравнивая уровни E3,03 и E0,23, мы видим, что d 3 = 0. Таким образом, E3,0∞ = E3,04 = E3,03 = E3,02. Итак, мы имеем

(E3,0∞) −5 = (E3,02) −5≅h4 (L− (3)) — 5 = V (−5α3−2α2 − α1), еслиb = 2V (−5α3−5α1 ) если a = 2, p = 40 в противном случае.

Аналогично (E2,1∞) −5 = (E1,2∞) −5 = (E0,3∞) −5 = 0. Следовательно, получаем

h4 (L− (4)) — 5 = V (−5α3−2α2 − α1), если b = 2V (−5α3−5α1), если a = 2, p = 40, иначе

I − 5≅ ( V⊗I − 4) / h4 (L− (4)) — 5, где h4 (L− (4)) — 5 дано выше. Из приведенных выше уравнений мы получаем структуру компонентов максимального идеала I (до уровня 5) в расширенно-гиперболической алгебре Каца-Муди EHA2 (2). Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Правила и примеры научной записи

Цель этого модуля — предоставить студентам инструменты, необходимые для использования научных обозначений для представления величин, применения электрических единиц измерения, преобразования метрических единиц и выражения измеренных данных с помощью надлежащего количества значащих цифр.

Объектив

Обучающийся сможет:

  • Используйте экспоненциальную нотацию для представления величин
  • Преобразование одной метрической электрической единицы в другую метрическую
  • Преобразование из одной единицы с метрическим префиксом в другую в экспоненциальном представлении
  • Экспресс-измерения с правильным количеством значащих цифр.

Ориентировочные вопросы

  • Как представить чрезвычайно большие или малые величины в экспоненциальном представлении?
  • Каковы процессы выполнения арифметических операций с использованием экспоненциальной записи?
  • Как преобразовать измерения, содержащие метрические префиксы?

Введение

При работе с очень большими или малыми количествами ученые и инженеры используют научную нотацию как форму представления.В электронике научная нотация — важный инструмент для представления электрических величин. Важные навыки включают в себя умение выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), используя научную нотацию, и умение конвертировать единицы измерения в метрические единицы.

Количества, представленные в научной нотации

Очень большие и очень маленькие количества часто встречаются в электронике. Вместо огромного количества цифр используется научная нотация.

Научная запись — это удобный способ выражения больших или малых чисел для выполнения арифметических и других функций. Он использует базовое число от 1 до 10 и степень от десяти . Степень десяти — это представление десятичного базового числа и показателя степени, указывающего, сколько раз базовое число увеличивается. Степень десяти представлена ​​символом, написанным сверху и справа от цифры, или показателем степени .

Например, если бы мы представили 230 000 в экспоненциальной системе счисления, мы бы переместили десятичную точку влево до тех пор, пока не получим число от 1 до 10 в левой части десятичной дроби.

В этом случае мы переместим десятичную точку между 2 и 3.

Затем мы посчитаем количество цифр справа от десятичной дроби. В нашем примере их 5. Таким образом, 230 000 будут представлены как 2,3 X 10 5 .

В научном представлении может быть только число меньше 10 слева от десятичной дроби. Любые числа справа от десятичной дроби, больше нуля, должны оставаться в базовом числе. Как и в приведенном выше примере, мы оставили 3 в базовом числе, так как оно больше нуля.

Чтобы преобразовать число, представленное в научном представлении, в десятичное, мы просто переместим десятичную дробь вправо на количество разрядов, обозначенное экспонентой.

Пример

Давайте возьмем следующее число и переведем его в научное представление:

2,500,000 Наш номер

2.5 Мы помещаем десятичную дробь между 2 и 5, что дает нам базовое число от 1 до 10.

2.5 X 10 6 Мы переместили десятичную запятую на 6 разрядов влево.

Маленькие числа

При работе с маленькими числами десятичная дробь перемещается вправо. Вместо положительной экспоненты (степени десяти) она отрицательная. Это не означает, что число отрицательное.

Например, если мы хотим представить количество 0,00000362, мы бы переместили десятичную дробь вправо, пока не получим число от 1 до 10. В этом случае наша десятичная дробь будет между 3 и 6.

Затем мы посчитаем, сколько цифр находится слева от десятичной дроби. В нашем примере мы переместили десятичную запятую на 6 разрядов. В нашем примере будет 3,62 X 10 -6 .

Обратите внимание, мы оставили 2, потому что это число больше нуля.

Чтобы преобразовать небольшое число, представленное научным представлением, в десятичное число, мы перемещаем десятичную дробь влево на количество разрядов, указанное экспонентой.

Пример

Представим следующее десятичное число в экспоненциальном представлении:

0.000 000 025 наш номер.

2,5 Мы переместили десятичную запятую вправо, чтобы получить нашу базу 2,5, которая находится между 1 и 10.

2,5 X 10 -8 Мы переместили десятичную запятую на 8 разрядов вправо, получив показатель степени (-8).

Другие примеры

516,570,000,000,000 = 5,1657 X 10 14

0,000100972 = 1,00972 X 10 -4

4683.8 = 4,6838 Х 10 3

0,05871 = 5,871 X 10 -2

7,55 Х 10 2 = 755

190 X 10 6 = 190 000 000

1,23 X 10 -6 = 0,00000123

9 X 10 -3 = 0,009

Просмотрите видео ниже, прежде чем переходить к следующему разделу.

Видео с научной нотацией

Арифметика с экспоненциальным представлением

Научная нотация упрощает арифметические операции с очень большими и очень маленькими числами.Это оставляет меньше места для ошибок.

Дополнение

Мы складываем числа в экспоненциальном представлении, используя следующий метод:

  1. Выразите оба числа с одинаковой степенью десяти.
  2. Сложите основные числа.
  3. Опустите степень десяти, чтобы представить новую степень десяти для суммы.
  4. Упростите так, чтобы базовое число было от 1 до 10.

Пример

Как сложить 3 X 10 5 плюс 6 X 10 4 ?

Нам нужно сначала выразить числа, используя ту же степень десяти:

(3 X 10 5 ) + (60 X 10 5 )

Добавьте основные числа:

3 + 60 = 63

Опустите силу десяти:

63 Х 10 5

Упростите так, чтобы в основе лежало число от 1 до 10:

6.3 Х 10 6

Вычитание

При вычитании степеней десяти используется следующий метод:

  1. Выразите оба числа с одинаковой степенью десяти.
  2. Вычтите основные числа без их степени десяти.
  3. Опустите степень десяти, чтобы обозначить разницу.
  4. Упростите так, чтобы базовое число было от 1 до 10.

Пример

Вот пример вычитания чисел, выраженных в степенях десяти:

Вычтем 3.5 X 10 -12 от 9,5 X 10 -11

Сначала представим оба числа в одинаковой степени десяти:

(9,5 X 10 -11 ) — (0,35 X 10 -11 )

Вычтите основные числа:

9,5 — 0,35 = 9,15

Обрушьте силу десяти:

9,15 х 10 -11

Научная запись: сложение и вычитание

Умножение

Для умножения чисел, выраженных в экспоненциальном представлении, используйте следующий метод:

  1. Умножайте основные числа без десятичной степени.
  2. Сложите степени десяти, используя алгебраические правила сложения чисел (степени не обязательно должны быть одинаковыми).

Пример

Умножить 6 X 10 3 на 4 X 10 -5

Умножьте основные числа: (6) (4) = 24

Сложите показатели: 3 + (-5) = -2

Товар: 24 X 10 -2

Упрощенное: 2,4 X 10 -1

Отдел

Для деления чисел, выраженных в экспоненциальном представлении, используйте следующий метод:

  1. Запишите задачу в виде дроби с числителем и знаменателем.{4}}}

    долларов США

    Разделите основные числа:

    7 / 3,5 = 2

    Вычтите экспоненты:

    9–4 = 5

    Частное: 2 X 10 5

    Научная запись: умножение и деление

    Преобразование мер с метрическими префиксами

    В области электроники вы будете иметь дело с измеряемыми величинами.Вы будете измерять напряжение, ток и сопротивление, а также многие другие электрические величины. Все эти измерения имеют определенные единицы и символы, которые используются в сочетании с техническими обозначениями.

    Инженерное обозначение

    Подобно научной нотации, инженерная нотация использует ту же концепцию «степени десяти». Разница в том, что инженерная нотация может содержать до трех цифр слева от десятичной дроби. Кроме того, инженерная нотация может иметь экспоненты, кратные трем (3, 6, 9 и т. Д.).).

    Пример

    Ниже приведены несколько примеров чисел, представленных как в научных, так и в инженерных обозначениях:

    Номер Научное обозначение инженерное обозначение

    23000 2,3 х 10 4 23 х 10 3

    500 5 X 10 2 500 или.5 Х 10 3

    0,000052 5,2 X 10 -5 52 X 10 -6

    Электрооборудование

    Электрические единицы и количества представлены буквенным обозначением. Ниже приведена таблица некоторых общих электрических величин, SI (международный стандарт), и символы:

    КОЛИЧЕСТВО СИМВОЛ БЛОК СИ СИМВОЛ
    Напряжение В Вольт В
    Текущий I Ампер (А) А
    Заряд Q Кулон С
    Сопротивление R Ом Ом
    Емкость С Фарад F
    Индуктивность L Генри H
    Мощность P Ватт Вт
    Энергия Вт Джоуль Дж
    Время Т секунд S
    Частота F Герц Гц


    Праймер по электрическим единицам, сокращения и символы 1-2

    Метрические префиксы

    Метрические префиксы представляют собой некоторые из наиболее распространенных степеней десяти в инженерной нотации.Ниже представлена ​​таблица с наиболее распространенными префиксами метрик:

    Префикс Префикс
    Символ
    Значение
    Пико P 10 -12 = 0,000 000 000 001
    нано n 10 -9 = 0,000 000 001
    микро µ 10 -6 = 0.000 001
    милли м 10 -3 = 0,001
    кг к 10 3 = 1000
    Мега M 10 6 = 1000000
    Гига G 10 9 = 1000000000
    Тера Т 10 12 = 1 000 000 000 000

    Пример

    Покажите следующий номер с префиксом и символами единиц:

    0.005 Volts Наш номер

    5 X 10 -3 В в экспоненциальном представлении

    5 м Вольт В нашей таблице мы видим 10 -3 представлено м

    5 мВ Обозначение для вольт: В

    Конвертация в метрические единицы

    Для выполнения некоторых вычислений с использованием метрических единиц удобнее преобразовывать префиксы метрики. При преобразовании префиксов необходимо соблюдать несколько основных правил:

    1. Переместите десятичную запятую вправо при преобразовании больших единиц в меньшие.
    2. Переместите десятичную точку влево при преобразовании малых единиц в большие.
    3. Найдите разность степеней десяти, чтобы решить, на сколько позиций переместить десятичную запятую.

    Пример

    1. Преобразовать 3 миллифарада в микрофарады.

    Используя приведенную выше таблицу, мы видим, что mF — это миллифарады (10 -3 ). Микрофарад — 10 -6 . Поскольку микрофарады меньше миллифарадов, мы переместим десятичную запятую на три позиции вправо.Это даст 300 мкФ.

    1. Перевести 4000 наноампер в микроампер.

    Мы переместим десятичную запятую на три позиции влево.

    4000 нА = 4000 X 10 -9 A = 4 X 10 -6 = 4 мкА

    1. Преобразовать 1600 килоом в мегаом

    Мы переместим десятичную запятую на три позиции влево.

    1600 кОм = 1600 X 10 3 = 1,6 X 10 6 = 1.6 МОм

    Научная запись

    Научная нотация (также называемая Стандартной формой в Великобритании) — это особый способ записи чисел:

    Как это:
    Или это:

    Позволяет легко использовать большие и маленькие значения.

    Хорошо, как это работает?

    Пример: 700

    Почему 700 записывается как 7 × 10 2 в научной нотации?

    700 = 7 × 100

    , поэтому 700 = 7 × 10 2

    И 700 , и 7 × 10 2 имеют одинаковое значение, но показаны по-разному.

    Пример: 4 900 000 000

    1000000000 = 10 9 ,
    , поэтому 4

    0000 =

    4.9 × 10 9 в научной нотации

    Число записывается в из двух частей :

    • Всего цифр с десятичной запятой после первой цифры, за которой следует
    • × 10 в степень , которая помещает десятичную запятую туда, где она должна быть
      (т.е. показывает, на сколько мест нужно переместить десятичную запятую).


    В этом примере 5326,6 записывается как 5,3266 × 10 3 ,
    потому что 5326.4 = 3 × 10 × 10 × 10 × 10 = 30,000

  2. Калькуляторы часто используют «E» или «e», например:

    Пример: 6E + 5 совпадает с 6 × 10 5

    • 6E + 5 = 6 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 600000

    Пример: 3.12E4 то же самое, что 3.12 × 10 4

    • 3.12E4 = 3,12 × 10 × 10 × 10 × 10 = 31 200

    Как это сделать

    Чтобы вычислить степень 10, подумайте: «На сколько раз переставить десятичную точку?»

    Когда число 10 или больше, десятичная точка должна сместиться на влево на , а степень 10 равна положительному .

    Когда число меньше 1, десятичная точка должна переместиться на вправо , поэтому степень 10 будет отрицательным .

    Пример: записано 0,0055

    5,5 × 10 -3


    Потому что 0,0055 = 5,5 × 0,001 = 5,5 × 10 -3

    Пример: записано 3.2

    3.2 × 10 0


    Нам вообще не нужно было перемещать десятичную точку, поэтому степень равна 10 0

    Но теперь в научной нотации

    Проверить!

    После ввода числа в научную нотацию просто проверьте, что:

    • Цифры от 1 до 10 (это может быть 1, но не 10)
    • «Степенная» часть показывает, на сколько именно мест нужно переместить десятичную запятую.

    Зачем это нужно?

    Потому что это упрощает работу с очень большими или очень маленькими числами, которые часто встречаются в научной и инженерной работе.

    Пример: проще писать (и читать) 1,3 × 10 -9 , чем 0,0000000013

    Он также может упростить вычисления, как в этом примере:

    Пример: крошечное пространство внутри компьютерного чипа было измерено как 0,00000256 м в ширину, 0,00000014 м в длину и 0,000275 м в высоту.

    Каков его объем?

    Давайте сначала преобразуем три длины в экспоненциальное представление:

    • ширина: 0.000 002 56m = 2,56 × 10 -6
    • длина: 0,000 000 14м = 1,4 × 10 -7
    • высота: 0,000 275 м = 2,75 × 10 -4

    Затем умножьте цифры (игнорируя × 10):

    2,56 × 1,4 × 2,75 = 9,856

    Наконец, умножаем на 10:

    10 -6 × 10 -7 × 10 -4 = 10 -17 (проще, чем кажется, просто сложите вместе −6, −4 и −7 )

    Результат: 9.856 × 10 -17 м 3

    В науке много используется:

    Пример: Солнца, Луны и планеты

    Солнце имеет массу 1,988 × 10 30 кг.

    Легче, чем написать 1,988,000,000,000,000,000,000,000,000,000 кг
    (и это число дает ложное представление о точности многих цифр).

    Это также может сэкономить место! Вот что происходит, когда вы удваиваете на каждом поле шахматной доски:


    Значения округлены, поэтому 53,6870,912 отображается как 5 × 10 8

    Последнее значение, показанное как 9 × 10 18 , на самом деле 9 223 372 036 854 775 808

    Инженерное обозначение

    Engineering Notation похожа на Scientific Notation, за исключением того, что мы используем только степени десяти, кратные 3 (например, 10 3 , 10 -3 , 10 12 и т. Д.).

    Примеры:

    • Написано 2700 2,7 × 10 3
    • 27000 записано 27 × 10 3
    • 270,000 записано 270 × 10 3
    • записано 2,700,000 2,7 × 10 6

    Пример: записано 0,00012

    120 × 10 -6

    Обратите внимание, что часть «цифры» теперь может быть от 1 до 1000 (это может быть 1, но не 1000).

    Преимущество состоит в том, что мы можем заменить × 10 s на метрические числа. Таким образом, мы можем использовать стандартные слова (например, тысяча или миллион), префиксы (например, кило, мега) или символ (k, M и т. Д.)

    Пример: записано 19,300 метров 19,3 × 10 3 м, или 19,3 км

    Пример: записано 0,00012 секунд 120 × 10 -6 с, или 120 микросекунд

    Инженерное обозначение | Десятичные префиксы

    Инженерное обозначение | Десятичные префиксы

    До сих пор мы рассматривали только числовые значения, однако в науке и технике мы чаще всего имеем дело с измеряемыми величинами. количества, е.грамм. метры (м), вольт (В), ньютоны (Н) и т. д.

    Следовательно, используя научную нотацию, мы могли бы иметь такие значения, как.

    • 2 x 10 3 м.
    • 5 x 10 -3 В.
    • 2,5 x 10 4 Н.

    Десятичные префиксы.

    У некоторых степеней десяти есть собственный символ, например k (килограмм) эквивалентно (x 10 3 ). Они называются десятичными префиксами. В инженерной системе обозначений мы пишем десятичные префиксы перед единицами вместо степени десяти.например Вместо 2 x 10 3 м, мы бы написали 2 км (2 км). В таблице ниже показаны десятичные префиксы для мощностей от 10 -12 до 10 12 .

    Мощность 10 Десятичный префикс Символ
    10 12 Терра Т
    10 9 Гига G
    10 6 мега M
    10 3 кг к
    10 -2 санти с
    10 -3 милли м
    10 -6 микро µ
    10 -9 нано м
    10 -12 пик с.

    Обратите внимание, что нет соответствующего десятичного префикса для каждой степени 10.Поэтому для некоторых чисел мы должны сначала переместить десятичную точку и отрегулировать степень 10, пока она не совпадет с одним из десятичных префиксов.
    например 2 x 10 4 м, то же самое, что 20 x 10 3 м, и поэтому может быть записано как 20 км.

    Поэтому, в отличие от научных обозначений, в технических обозначениях перед десятичной точкой может стоять более одной цифры. Однако там перед десятичной запятой должно быть не менее одной цифры и не более трех.Таким образом, хотя такие значения, как 0,1 мВ и 2000 кА, строго говоря, не являются неправильными, это больше условно выражать их как 100 кВ и 2 мА соответственно.

    1.3: Научно-техническая нотация

    Ученые и инженеры часто работают с очень большими и очень маленькими числами. Обычная практика использования запятых и ведущих нулей в этой ситуации оказывается очень обременительной. Научная запись является более компактным и менее подверженным ошибкам методом представления.Число делится на две части: часть точности (мантисса) и часть величины (показатель степени, являющийся степенью десяти). Например, значение 23000 может быть записано как 23 умноженное на 10 в третьей степени (то есть умноженное на одну тысячу). Показатель степени можно рассматривать с точки зрения того, как десятичная точка перемещается влево. Это неудобно писать по буквам, поэтому используется сокращенный метод, когда «умноженное на 10 в степени X» заменяется буквой E (которая обозначает показатель степени). Таким образом, 23000 можно было записать как 23E3.Значение 45000000000 будет записано как 45E9. Обратите внимание, что это число также можно было бы записать как 4.5E10 или даже 0.45E11. Единственная разница между научной и инженерной нотацией состоит в том, что для инженерной нотации показатель степени всегда кратен трем. Таким образом, 45E9 — это правильная инженерная нотация, а 4.5E10 — нет. На большинстве научных калькуляторов E обозначается кнопкой «EE» или «EXP». Процесс ввода значения 45E9 будет происходить при нажатии клавиш 4 5 EE 9.

    Для дробных значений показатель степени отрицательный, и его можно рассматривать в терминах того, на сколько знаков десятичная точка должна быть перемещена вправо. Таким образом, 0,00067 можно записать как 0,67E-3, 6,7E-4 или даже 670E-6. Обратите внимание, что только первый и последний из этих трех приемлемы в качестве инженерных обозначений.

    Инженерная нотация идет еще дальше, используя набор префиксов для замены кратных трем экспоненты. Префиксы:

    E12 = Tera (T) E9 = Гига (G) E6 = Мега (М) E3 = килограммы
    E − 3 = милли (м) E − 6 = микро (\ (\ mu \)) E − 9 = нано (n) E − 12 = пико (p)

    Таблица \ (\ PageIndex {1} \)

    Таким образом, 23000 вольт можно записать как 23E3 вольт или просто 23 киловольта.

    Помимо того, что эта запись более компактна, она намного проще, чем обычная форма, при работе со значениями в широком диапазоне. При умножении просто умножайте доли точности и складывайте экспоненты. Точно так же при делении разделите части точности и вычтите экспоненты. Например, 23000 умножить на 0,000003 может показаться сложной задачей. В технических обозначениях это 23E3 умноженное на 3E − 6. Результат — 69E − 3 (то есть 0,069). При достаточной практике станет второй натурой, что килограммы (E3), умноженные на микро (E-6), дают милли (E-3).Это значительно облегчит лабораторные оценки. Продолжая, 42000000 делить на 0,002 равно 42E6, деленному на 2E − 3, или 21E9 (показатель степени равен 6 минус отрицательное 3 или 9).

    При сложении или вычитании сначала убедитесь, что показатели одинаковы (масштабирование, если требуется), а затем добавьте или вычтите части точности. Например, 2E3 плюс 5E3 — это 7E3. Для сравнения, 2E3 плюс 5E6 — это то же самое, что 2E3 плюс 5000E3 или 5002E3 (или 5.002E6).

    Выполните следующие операции. Преобразуйте следующее в научную и техническую нотацию.

    1. 1500

    2. 63 200 000

    3. 0,0234

    4. 0,000059

    5,170

    Преобразуйте следующую запись в обычную длинную запись:

    6. 1.23E3

    7. 54.7E6

    8. 2E − 3

    9. 27E − 9

    10. 4.39E7

    Используйте соответствующий префикс для следующего:

    11. 4E6 вольт

    12. 5.1E3 футов

    13. 3,3E − 6 грамм

    Выполните следующие операции:

    14.5.2E6 + 1.7E6

    15. 12E3 — 900

    16. 1.7E3 \ (\ cdot \) 2E6

    17. 48E3 / 4E6

    18. 20 / 4E3

    19. 10 млн \ (\ cdot \) 2 к

    20. 8 л / 2 м

    Обозначение теории графов

    Обозначение теории графов

    Как обозначать количество вершин и количество ребер графика

    G ?

    Другие вопросы по терминологии можно найти здесь.

    Скоро пересмотрю свой учебник по теории графов Введение в теорию графов .Сначала я хотел чтобы узнать, как исследователи и пользователи теории графов ответят на поставленный выше вопрос. Для этих величин использовалось много разных обозначений. Например,
    количество вершин: | V (G) |, n (G) , | G |, v (G) , \ nu (G)
    количество ребер: | E (G) |, м (G) , || G ||, e (G) , \ epsilon (G)

    В интересах облегчения общения я решил изменить обозначение для следующего издания моего учебника, если я обнаружу преобладающее предпочтение об этом в сообществе теории графов.Оказалось, что было такое предпочтение, совершенно неожиданное для меня, потому что, по сути, «Ни один из вышеперечисленных!» к вариантам специальных обозначений.

    Благодарю всех, кто прислал голоса и наводящие на размышления комментарии. Опыт был довольно унизительно. Я был очень удивлен сильной поддержкой | V (G) | и | E (G) |. После подведения итогов голосования я обсуждаю различные варианты и что я сделаю с учетом наблюдений, сделанных избирателями.

    Спасибо за голосование,
    Дуглас Уэст

    Итоги голосов

    Подсчет голосов был несколько затруднен, потому что некоторые респонденты не сделали этого. дали четкий ответ или представили другие альтернативы, поэтому итоги ниже приблизительный.Некоторые респонденты особенно потрудились проголосовать против альтернативы; эти голоса «против» указаны в скобках. Я продолжу обновлять итоги, если будут новые голоса.
    | V (G) |, | E (G) | ….. 56
    | V G |, | E G | …………. 4 (1)
    | V |, | E | …………….. 6
    v (G), e (G) ……….. 7
    v, e ………………….. 1
    \ nu (G), \ eps (G) … 3 (1)
    n (G), e (G) ……………… 5
    n, e ………………………… 2
    n (G), m (G) ; n G , м G … 9
    н, м ………………………. 13
    | G |, || G || ………………… 7 (5)
    | G |, e (G) ………………… 1

    Фолькер Штрел предположил еще одну возможность, которая не пришла мне в голову, когда я предложил голосование, и я провел дополнительное голосование по нему:

    #V (G), # E (G) : приемлемо 18, недопустимо 28
    Это обозначение позволяет избежать основных возражений против других вариантов.К несчастью, в настоящее время отсутствует аспект «мгновенного распознавания» | V (G) | а также | E (G) | что привлекло к этому варианту множество избирателей. Также были эстетические возражений (некоторые считают это более длительным, менее привычным для студентов, чрезмерно зависит от английского, уродливого и т. д.). Еще одно возражение заключалось в том, что мы все равно хочу использовать | S | для размера набора вершин S , но я не вижу трудности с использованием этого тоже.

    Одна из причин, по которой мне нравятся эти обозначения, — их способ чтения.| V (G) | читает как «размер набора вершин G «, а #V (G) читается как «количество вершин G «, что мы и имели в виду. Отто Смит отмечает что #V (G) #V (H) яснее, чем | V (G) || V (H) |, а || нотация ухудшается по мере того, как описание графа внутри становится длиннее.

    Я лично считаю, что это лучшая из доступных обозначений, и она согласуется с использование # в # { x : условие на x }, что, я думаю, увеличивается.По учебнику он будет знаком и прозрачный. Однако очевидно, что слишком многие в сообществе считают это неприемлемым.

    Предыдущее использование

    Спасибо Daniele Degiorgi за ссылки, которых не было в моем первоначальном списке:
  3. p , q — Harary / Norman / Cartwright (1965), Harary (1969), Харари / Бакли (1989), Бейнеке / Уилсон (1978, 1983, 1988), Гулд (1988)
  4. \ nu (G) , \ epsilon (G) — Бонди / Мурти (1976)
  5. v (G) , e (G) — Бонди / Мурти (2007)
  6. v , e — Уоллис (2000)
  7. | G |, e (G) — Боллобас (1978, 1979, 1998)
  8. n , | E | — Гиббонс (1985)
  9. n (G) , e (G) — Запад (1996, 2001)
  10. n , m — Chartrand / Lesniak (1979, 1986, 1996, 2005), Бакли / Левинтер (2002), Фолькманн (1991, 1996)
  11. | G |, || G || — Дистель (1996, 2000, 2005)
  12. Никаких общепринятых специальных обозначений — Кениг (1936), Оре (1962), Вагнер (1970), Уилсон (1972, 1979, 1985, 1996), Биггс (1974, 1993), Трюдо (1976, 1993), Андрасфаи (1977, 1991), Карре (1979), Эвен (1979), Голумбик (1980, 2004), Туласираман / Свами (1981, 1992), Айгнер (1984), Тутт (1984), Халин (1989), Халин (1989), Део (1990), Уилсон / Уоткинс (1990), Кларк / Холтон (1991), Фулдс (1992), Гросс / Йеллен (1999, 2006), Олдос / Уилсон (2000), Меррис (2001), Годсил / Ройл (2001).Большинство из них, когда требуется количество вершин или количество ребер G , применить | X | к какой бы нотации X они ни называли набор вершин набора ребер G .
  13. Анализ комментариев

    Как автор учебника, который хочет упростить общение со студентами по В длинном курсе книги я искал обозначения, которые были бы краткими и элегантными в эта настройка и будет широко принята. Большинство респондентов не ответили с точки зрения учебника, поскольку они больше работают в контексте исследования документы.Тем не менее, они высказали мнение, что стоит задуматься.

    |

    V (G) | и | E (G) | Большинство респондентов заявили, что предпочитают это обозначение, потому что оно в значительной степени недвусмысленный, понятный и почти универсальный. Это желательно при поиске результата в учебнике; никто не хотите найти определения, возможно, незнакомой нотации. Вторичный причина в том, что это обозначение позволяет избежать большинства недостатков других параметры. Он не вносит математических противоречий и не ввести дополнительные обозначения, которые студенты должны выучить, когда начнут изучать теорию графов.

    Есть некоторые недостатки. Это обозначение относится к порядку и размеру. как результат двухэтапных операций над графом, а не как аспекты графа такие простые и фундаментальные, как максимальная степень (некоторые респонденты сочли это возражение слабым). Кроме того, формулы, использующие эту нотацию, немного загромождены. Некоторые респонденты противодействовать возражению против длины, сказав, что | V (G) | и | E (G) | будет сокращено до | V | и | E |, что я не считаю хорошим идея.

    Я думаю, что большинство исследователей, когда они работать над проблемами графа. Действительно, многие респонденты, предпочитающие этот вариант, сообщают что они избегают тяжести таких формул, используя n и m , письмо n = | V (G) | и м = | E (G) | или просто зарезервировав эти символы предназначены для этой цели. Проблема с изготовлением обычного декларация в учебнике — это как раз проблема, заключающаяся в том, что использование | V (G) | и | E (G) | было предназначено избежать.Во-первых, это местный условность, в которой нельзя быть уверенным при просмотре середины текста. Во-вторых, когда в обсуждении участвует более одного графика, необходимость изменения n для каждого графа делает глобальное соглашение несостоятельным.

    Чтобы использовать соглашение без глобального цемента между n и G , можно написать такие предложения, как «Пусть G будет графом с n вершинами и м и краев «при указании результата в терминах этих параметров.Харари сделал это кратко, написав: «Пусть G будет (p, q) -граф», но сейчас это соглашение используется редко. Можно также использовать n в формула около G , а затем добавьте «где n = | V (G) |».

    В моем втором издании уже есть много упражнений, в которых указано, что G n -вершинный граф. Учитывая отсутствие математических противоречий в этом При таком подходе становится трудно игнорировать подавляющую поддержку этого варианта.

    В ответ я сначала попробовал написать статью без операторов для порядок и размер графика. Было больно. Однако после пересмотра графика Теоретический раздел моего учебника для выпускников Комбинаторная математика (еще не опубликовано) для использования в моем аспирантуре в этом семестре, я должен сказать, что это не так уж и плохо.

    Верно, что гораздо больше примеров: «Пусть G будет вершиной n . график «необходимо добавить. Однако более последовательное использование n и м для порядка и размера графика (резко сокращая другие варианты использования эти буквы) приводит к более плавному ощущению.Правда, | V (G) | а также | E (G) | появляются время от времени в формулах, когда график был обсуждается без предварительной ссылки на заказ или размер, или при рассмотрении вычисление по всем подграфам. Однако часто можно избежать кардинальности формула с использованием английского языка и выражений типа «letting n = | V (G) |».

    Другое преимущество состоит в том, что то, что я говорю студентам в книге, теперь согласятся лучше с реальной практикой. Большинство исследователей используют n и (меньше часто) м как само собой разумеющееся при обсуждении конкретного графа.Учебник не должен просто объявлять, что каждый график, выраженный как G , имеет n вершин, но он может сохранять точность использования при ознакомлении студенты с привычкой использовать n для размера набора вершин.

    Я бы предпочел иметь простые обозначения для них как параметры график, но все доступные краткие варианты имеют недостатки, как описано ниже. Эти выборы были решительным отказом от каждого из них. Это удивило меня, это открыло мне глаза, и это позволило мне отпустить мое прошлое обозначения и рассмотреть альтернативы объективно, придя к выводу описано выше.

    |

    V G | и | E G | Респонденты, которые предпочли это, на самом деле обращались к другому вопросу. Они возражают против обработки V и E как функций на входном графе. С V G и E G можно было подавить индекс, когда граф понимается (как мы делаем со степенью вершины функция d G ), получив обычные V и E .Многие сторонники | V (G) | и | E (G) | нравится делать это также, но в нижнем индексе это кажется более оправданным. Однако в словах V (G) или V G значение набор вершин OF G «. Значит, функциональные обозначения подходят по смыслу. Кроме того, Артур Хоббс заметил, что когда многие графики G 1 , …, G k присутствуют, обозначения V (G i ) менее неудобен, чем V G i .Наконец, V (G) и E (G) используются гораздо шире, чем V G и E G .

    n (G) и m (G) Как и все варианты, использующие круглые скобки, они рассматривают порядок и размер как график. параметры (результат оценки). К сожалению, это непоследовательно использовать n (G) , а также использовать только n как количество вершин конкретный граф. Хотя ранее я избегал использования n и n (G) вместе в одной дискуссии, этот конфликт все еще беспокоил меня.Один не следует использовать ту же нотацию, что и имя функции, и значение этой функции в одной точке. Это обычное и достойное сожаления злоупотребление. обозначений в математике. Я не говорю, что граф имеет максимальную степень \ Delta или независимый набор размером \ alpha . Чтобы быть последовательным, Я не должен использовать « n -vertex graph», если где-то еще я использую « n (G) » для обозначения порядка произвольного графа G .

    Обозначение m (G) страдает той же проблемой.Кроме того, иногда мы хотим использовать м как размер набора вершин или n как размер подмножества вершин, как в K n, n , К м, м и др. Общий К м, н можно менять на K r, s и т. д. Однако есть еще хорошая мотивация для обсуждения подграфов K n, n , поскольку они соответствуют двоичным матрицам порядка n , и их идеальные совпадения соответствуют к перестановкам [ n ].

    Второстепенный недостаток, отмеченный Стивеном Хартке, заключается в том, что « м » звучит слишком похоже на « n » в контексте класса. К счастью, мы не нужно м как часто, и надеюсь что в классе легко будет добавить «количество граней», чтобы избежать путаницы.

    v (G) и e (G) С этой записью можно было бы избежать дополнительного шага использования мощности символы. Кроме того, хотя здесь вводятся дополнительные обозначения, многие математики любят использовать прописные буквы для обозначений множеств и соответствующих строчные буквы для их размеров.Кроме того, эта опция позволяет использовать обычные n и m записав n = v (G) и m = e (G) без путаницы. Мне сказали, что Бонди и Мурти используют эту опцию в их готовящееся второе издание. Уол Уоллис использует v и e (но а не v (G) и e (G) ), отмечая, что v — это буква в дизайне теория, которая соответствует обычному использованию n в теории графов.

    Основное возражение против этого варианта состоит в том, что мы хотим иметь v и e доступен для отдельных вершин и ребер.Хотя читатели может определить значение по тому, следует ли за обозначением круглые скобки и название графика, многие респонденты считают, что это кратное Смысл персонажей — серьезный недостаток.

    \ nu (G) и \ epsilon (G) Я думаю, что Бонди и Мурти представили \ nu (G) и \ epsilon (G) в их первое издание, чтобы избежать недостатков n (G), m (G), v (G), e (G) упомянутый выше. По счастливой случайности \ nu вызывает в памяти оба v и n .Тем не менее, некоторые считают, что порядок и размер слишком важно иметь такие причудливые обозначения, как греческие буквы.

    Между тем, были и другие варианты использования \ nu (G) и \ epsilon (G) . в качестве параметров, таких как номер пересечения, номер вершинного покрытия, номер совпадения, эксцентриситет и т. д. Думаю, эти трудности можно преодолеть: пересечение номер перемещается на cr (G) , для вершинного покрытия я использую \ beta (G) , совпадающий (независимый от края) номер должен быть альфа ‘(G) по аналогии с краевое хроматическое число chi ‘(G) , а эксцентриситет часто не нужен.

    Из вариантов в функциональном виде это единственный, который не создает математические несоответствия с другими условными обозначениями. К несчастью, эта нотация не прижилась, особенно в информатике. Главный Возражение против его использования состоит в том, что никто не использует его сейчас, даже его создатели.

    |

    G | и || G || Этот вариант вызвал наибольшее увлечение; сторонники твердо стоят за этим, но это получил больше категорических отказов, чем любой другой вариант.Это позволяет избежать трудностей имеет несколько значений для обозначений в теории графов (почти) и кажется удобный. Однако граф не является ни множеством, ни точкой в ​​метрическом пространстве, так что это обозначение несовместимо с другой математикой. Более серьезный источник путаницы в том, что нам все еще нужен символ мощности. Например, мы хочу написать | N (S) | \ ge | S | при обсуждении теоремы Холла.

    Возможно, злоупотребление обозначениями не так уж плохо, поскольку символы обозначают размеры двух наборов, которые вместе образуют G .Кирстед отмечает, что для модели теоретики граф G с набором вершин V модель с вселенной V , а они используют | G | для размера вселенной модели G . В каком-то смысле || G || будет соответствовать этому. (Он также шутит со своими учениками, что количество лиц на плоском графике G можно обозначить ||| G |||).

    С другой стороны, | V (G) | и | E (G) | похожи на это и полностью ясен, но не длиннее, и некоторые пользователи опасаются путаницы между | G | и || G ||.Были случаи, когда || S || Для обозначения использовался размер набора S .

    Тензорная нотация (основы)

    Введение

    Введена тензорная (или индексная, или указательная, или эйнштейновская) нотация. на предыдущих страницах при обсуждении векторов и матриц. На этой странице рассматриваются основы, представленные на этих страницах, а на следующей странице более подробно рассказывается о пользе и силе тензорной нотации.

    Эта страница почти повторяет сегменты тензорной записи предыдущих страниц. дословно.Если вы их уже читали, то здесь нет ничего нового. Вы можете перейти на следующую страницу, в котором рассматриваются более сложные темы тензорной нотации.


    Соглашение о суммировании

    Тензорная запись вводит одно простое рабочее правило. Это автоматически суммируйте любой индекс, встречающийся дважды, от 1 до 3.

    Таким образом, \ (a_i b_j \) просто произведение двух компонент вектора, компонент i th \ ({\ bf a} \) вектор с j компонентой вектора \ ({\ bf b} \).Однако \ (a_i b_i \) — совершенно другое животное, потому что нижний индекс \ (i \) встречается в этом термине дважды. Следовательно, \ (a_i b_i \) автоматически расширяется до и является сокращением для …

    \ [ a_i b_i \ эквив a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]
    , который является просто скалярным произведением векторов \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \). Обратите внимание, что в качестве индекса можно использовать любую букву (как в данном случае было \ (i \)), однако, чтобы вызвать автоматическое суммирование, очень важно чтобы в обоих нижних индексах использовалась одна и та же буква.


    Дельта Кронекера

    Тензорная нотация вводит в микс два новых символа: дельту Кронекера, \ (\ delta_ {ij} \) и тензор переменных или перестановок, \ (\ epsilon_ {ijk} \). Дельта Кронекера, \ (\ delta_ {ij} \), служит единичной матрицей, \ ({\ bf I} \), потому что он равен 1, когда \ (i = j \), и 0 в противном случае. Таким образом, в матрице, индексированной \ (i \) и \ (j \), диагональные компоненты равны 1 а недиагональные компоненты равны 0.

    Это матрица или нет?

    Записка из чистейшего… Единичная матрица — это матрица, но технически дельта Кронекера — нет. \ (\ delta_ {ij} \) — одно скалярное значение, равное 1 или 0 в зависимости от значений \ (i \) и \ (j \). Или подумайте об этом как об отдельном компоненте единичной матрицы \ ({\ bf I} \). По этой же причине тензорные обозначения не выделено жирным шрифтом, потому что это всегда относится к отдельным компонентам тензоров, но никогда к вектору, матрице или тензору в целом.

    Перейти по этой ссылке для увлекательной дискуссии между кем-то, кто получает это, а кто-то другой — нет.

    Дельта Кронекера стихи Дельта Дирака

    Не путайте дельту Кронекера, \ (\ delta_ {ij} \), с дельтой Дирака, \ (\ delta _ {(t)} \). Дельта Дирака — это совсем другое. Часто используется при обработке сигналов и равно 0 для всех \ (t \), кроме \ (t = 0 \). При \ (t = 0 \) он приближается к \ (\ infty \) таким образом, что

    \ [ \ int f (t) \ delta _ {(t)} dt = f (0) \]


    Тензор переменного тока

    Переменный тензор , \ (\ epsilon_ {ijk} \), используется в перекрестных произведениях следующее.\ ( c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ qquad \) соответствует \ ( \ qquad {\ bf c} = {\ bf a} \ times {\ bf b} \)

    , где \ (\ epsilon_ {123} = \ epsilon_ {231} = \ epsilon_ {312} = 1 \), а \ (\ epsilon_ {321} = \ epsilon_ {213} = \ epsilon_ {132} = -1 \), а все остальные комбинации равны нулю. Суммирование \ (j \) и \ (k \) индексы от 1 до 3 подразумеваются, потому что они повторяются как индексы. Другими словами, это сокращение от

    \ [ \ matrix { c_i \; знак равно \ epsilon_ {ijk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {i11} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {i12} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {i13} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {i22} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {i23} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {i32} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {i33} a_3 b_3 } \]
    Уравнение остается общим до тех пор, пока не будет выбран конкретный компонент для оценки \ (i \).

    Перекрестные произведения с использованием тензорной нотации

    Установите \ (i = 3 \), чтобы получить компонент перекрестного произведения z th .

    \ [ \ matrix { c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {311} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {312} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {313} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {321} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {322} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {323} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {331} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {332} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {333} a_3 b_3 } \]
    Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух. Это оставляет

    \ [ c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k \; знак равно a_1 b_2 — a_2 b_1 \]
    , что согласуется с детерминантным результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x th и y th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 2 соответственно.


    Сложение векторов и тензор

    Сложение векторов и тензорных чисел записывается в тензорных обозначениях просто как

    \ [ c_i = a_i + b_i \ quad \ quad \ text {и} \ quad \ quad c_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij} \]


    Продукты Vector Dot

    Скалярное произведение векторов \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \) записывается в тензорной записи просто как \ (a_i b_i \).Подразумевается суммирование от 1 до 3. потому что нижний индекс (\ (i \) в данном случае) появляется дважды (на \ (a \) и \ (b \)). Другими словами:

    \ [ a_i b_i \ эквив a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]
    Обратите внимание, что в качестве индекса можно использовать любую букву (как в данном случае было \ (i \)), однако, очень важно, чтобы одна и та же буква использовалась в обоих нижних индексах, чтобы вызвать автоматическое суммирование.


    Векторное произведение

    Переменный тензор , \ (\ epsilon_ {ijk} \), используется в перекрестных произведениях следующее.(Да, это повторяет приведенный выше раздел чередующегося тензора.)

    \ [ c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \]
    где \ (\ epsilon_ {123} = \ epsilon_ {231} = \ epsilon_ {312} = 1 \), а \ (\ epsilon_ {321} = \ epsilon_ {213} = \ epsilon_ {132} = -1 \), а все остальные комбинации равны нулю. Суммирование \ (j \) и \ (k \) индексы от 1 до 3 подразумеваются, потому что они повторяются как индексы в приведенном выше уравнении. Другими словами, это сокращение от

    \ [ \ matrix { c_i \; знак равно \ epsilon_ {ijk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {i11} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {i12} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {i13} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {i22} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {i23} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {i32} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {i33} a_3 b_3 } \]
    Уравнение остается общим до тех пор, пока не будет выбран конкретный компонент для оценки \ (i \).

    Перекрестные произведения с использованием тензорной нотации

    Установите \ (i = 3 \), чтобы получить компонент перекрестного произведения z th .

    \ [ \ matrix { c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {311} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {312} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {313} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {321} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {322} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {323} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {331} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {332} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {333} a_3 b_3 } \]
    Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух. Это оставляет

    \ [ c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k \; знак равно a_1 b_2 — a_2 b_1 \]
    , что согласуется с детерминантным результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x th и y th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 2 соответственно.

    Следующий пример вычисления площади треугольника иллюстрирует важный свойство тензорной записи, а именно, что индексы диктуют суммирование и порядок умножения, а не порядок, в котором написаны термины.

    Площадь треугольника, ограниченного с двух сторон векторами \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \), равна

    \ [ Площадь = {1 \ более 2} | \, {\ bf a} \ times {\ bf b} | \]
    В тензорных обозначениях это записывается в два этапа как

    \ [ c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ quad \ quad \ quad \ text {и} \ quad \ quad \ quad Площадь = {1 \ более 2} \ sqrt {c_i c_i} \]
    или в одном уравнении как

    \ [ Площадь = {1 \ более 2} \ sqrt {\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ epsilon_ {imn} a_m b_n} \]
    Обратите внимание, что каждый индекс появляется дважды в приведенном выше уравнении, потому что по соглашению не разрешается появляться более 2 раз.

    Порядок факторов в тензорной записи

    Тензорная нотация позволяет повысить гибкость порядка, в котором факторы записываются, чем разрешено в векторной записи. Например, \ ({\ bf a} \ times {\ bf b} \) не равно \ ({\ bf b} \ times {\ bf a} \), хотя они тесно связаны. Наоборот \ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \) равно \ (\ epsilon_ {ijk} b_k a_j \) равно \ (a_j b_k \ epsilon_ {ijk} \), потому что порядок работы диктуется индексы, а не порядок, в котором написаны коэффициенты.Итак, в приведенном выше обсуждении \ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ epsilon_ {imn} a_m b_n \) можно также записать как \ (\ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {imn} a_j b_k a_m b_n \). Это просто вопрос личных предпочтений.

    Векторные диадические продукты

    Тензорная запись диадического произведения не может быть проще.

    \ [ c_ {ij} = a_i b_j \]

    Пример двоичного продукта

    Если \ ({\ bf a} = (3, 7, 2) \) и \ ({\ bf b} = (1, 2, 3) \), то диадическое произведение из двух

    \ [ \ begin {eqnarray} {\ bf a} \ otimes {\ bf b} & = & \левый[ \ matrix { 3 * 1 и 3 * 2 и 3 * 3 \\ 7 * 1 и 7 * 2 и 7 * 3 \\ 2 * 1 и 2 * 2 и 2 * 3 } \Правильно] \\ \\ \\ знак равно \левый[ \ matrix { 3 и 6 и 9 \\ 7 и 14 и 21 \\ 2 и 4 и 6 } \Правильно] \\ \ end {eqnarray} \]
    Тензорная запись указывает, что значение любого компонента \ (c_ {ij} \) просто \ (a_i b_j \). {\! — 1} _ {ij} \).{-1} _ {ij} = {1 \ over 2 \, \ text {det} ({\ bf A})} \ epsilon_ {jmn} \, \ epsilon_ {ipq} A_ {mp} A_ {nq} \]


    Умножение матриц

    Скалярное произведение двух матриц умножает каждую строку первой на каждый столбец. второй. Продукты часто записываются с точкой в ​​матричных обозначениях как \ ({\ bf A} \ cdot {\ bf B} \), но иногда пишется без точки как \ ({\ bf A} {\ bf B} \). Умножение На самом деле правила лучше всего объяснить с помощью тензорной записи.

    \ [ C_ {ij} = A_ {ik} B_ {kj} \]
    (Обратите внимание, что в тензорной записи точка не используется.) Из \ (k \) в обоих множителях автоматически следует

    \ [ C_ {ij} = A_ {i1} B_ {1j} + A_ {i2} B_ {2j} + A_ {i3} B_ {3j} \]
    , который является строкой i первой матрицы, умноженной на столбец j таблицы вторая матрица. Если, например, вы хотите вычислить \ (C_ {23} \), тогда \ (i = 2 \) и \ (j = 3 \), и

    \ [ C_ {23} = A_ {21} B_ {13} + A_ {22} B_ {23} + A_ {23} B_ {33} \]

    Пример умножения матриц

    Если \ (\ quad {\ bf A} = \ left [ \ matrix { 1 и 2 и 3 \\ 4 и 2 и 2 \\ 2 и 3 и 4 } \ right] \ quad \) а также \ (\ quad {\ bf B} = \ left [ \ matrix { 1 и 4 и 7 \\ 2 и 5 и 8 \\ 3 и 6 и 9 } \ right] \ quad \) то \ (A_ {ik} B_ {kj} \) влечет

    \ [ \левый[ \ matrix { 1 и 2 и 3 \\ 4 и 2 и 2 \\ 2 и 3 и 4 } \Правильно] \левый[ \ matrix { 1 и 4 и 7 \\ 2 и 5 и 8 \\ 3 и 6 и 9 } \Правильно] знак равно \левый[ \ matrix { 14 и 32 и 50 \\ 14 и 38 и 62 \\ 20, 47 и 74 } \Правильно] \]

    Тензорная запись и программирование

    Еще одно преимущество тензорной записи состоит в том, что она объясняет вам, как писать компьютерный код для этого.Обратите внимание, как индексы в примере FORTRAN ниже точно соответствует тензорной записи для \ (C_ {ij} = A_ {ik} B_ {kj} \). Это верно для всех операций с тензорной нотацией, а не только для этой матричной точки. продукт.
          подпрограмма aa_dot_bb (n, a, b, c)
          размерность a (n, n), b (n, n), c (n, n)
          делать я = 1, п
             сделать j = 1, n
                с (я, j) ​​= 0
                сделать k = 1, n
                   c (i, j) = c (i, j) + a (i, k) * b (k, j)
                конец делать
             конец делать
          конец делать
          возвращение
          конец
     

    Продукты с двойной точкой

    Двойное скалярное произведение двух матриц дает скалярный результат.Он записывается в матричной записи как \ ({\ bf A}: {\ bf B} \). Еще раз, его вычисление лучше всего объяснить с помощью тензорной записи.

    \ [ {\ bf A}: {\ bf B} = A_ {ij} B_ {ij} \]
    Поскольку индексы \ (i \) и \ (j \) присутствуют в обоих множителях, они оба суммируются, чтобы получить

    \ [ \ matrix { {\ bf A}: {\ bf B} \; знак равно A_ {ij} B_ {ij} \; знак равно A_ {11} * B_ {11} & + & A_ {12} * B_ {12} & + & A_ {13} * B_ {13} & + \\ & A_ {21} * B_ {21} & + & A_ {22} * B_ {22} & + & A_ {23} * B_ {23} & + \\ & A_ {31} * B_ {31} & + & A_ {32} * B_ {32} & + & A_ {33} * B_ {33} & } \]

    Пример продукта с двойной точкой

    Если \ (\ quad {\ bf A} = \ left [ \ matrix { 1 и 2 и 3 \\ 4 и 2 и 2 \\ 2 и 3 и 4 } \ right] \ quad \) а также \ (\ quad {\ bf B} = \ left [ \ matrix { 1 и 4 и 7 \\ 2 и 5 и 8 \\ 3 и 6 и 9 } \ right] \ quad \) тогда

    \ [ \ matrix { A_ {ij} B_ {ij} & = & 1 * 1 & + & 2 * 4 & + & 3 * 7 & + \\ & & 4 * 2 & + & 2 * 5 & + & 2 * 8 & + \\ & & 2 * 3 & + & 3 * 6 & + & 4 * 9 \\ & \\ & = & 124 } \]


    Дифференциация по времени

    Дифференциация по времени может быть записана в нескольких формах. 2} \ right) \ qquad \ = \ qquad \ ddot {\ bf x} \ qquad = \ qquad \ ddot {x} _i \ qquad = \ qquad x_ {i , tt} \]
    Можно использовать производную по \ (\; t \), или точку, которая, вероятно, является наиболее популярной, или запятую, которая является популярным подмножеством тензорной записи.Обратите внимание, что запись \ (x_ {i, tt} \) несколько нарушает правило тензорной записи двойных индексов, автоматически суммирующих от 1 до 3. Это потому, что время не имеет 3 измерения, как и пространство, поэтому подразумевается, что суммирование не производится.


    Дифференциация по пространственным координатам

    Дифференцирование скалярной функции \ (f ({\ bf x}) \) по \ (x_j \) есть

    \ [ {\ partial f \ over \ partial x _ {\! j}} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad f _ {, \, j} \]
    Дифференцирование вектора \ ({\ bf v} \) есть

    \ [ {\ partial {\ bf v} \ over \ partial x _ {\! j}} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ left ({\ partial \, v_x \ over \ partial x _ {\! j}}, {\ partial \, v_y \ over \ partial x _ {\! j}}, {\ partial \, v_z \ over \ partial x_ {\! j}} \ right) \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad v_ {i, \, j} \]
    Дифференцирование тензора \ (\ boldsymbol {\ sigma} \) есть

    \ [ {\ partial \ boldsymbol {\ sigma} \ over \ partial x _ {\! k}} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ sigma_ {ij, k} \]
    Как и в случае с векторами, каждый компонент тензора дифференцируется.


    Дивергенция

    Расхождение вектора — это скалярный результат. Он записывается как \ (v_ {i, i} \) и вычисляется как

    \ [ \ begin {eqnarray} v_ {i, i} & = \; & {\ partial v_1 \ over \ partial x_1} + {\ partial v_2 \ over \ partial x_2} + {\ partial v_3 \ over \ partial x_3} \\ \\ знак равно & {\ partial v_x \ over \ partial x} + {\ partial v_y \ over \ partial y} + {\ partial v_z \ over \ partial z} \ end {eqnarray} \]
    Как указано выше, расходимость записывается в тензорной записи как \ (v_ {i, i} \).3 — я) \ quad = \ quad 6x — 1 \]


    Завиток

    Ротор вектора записывается в тензорной записи как \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \). Важно понимать, что вектор здесь записывается как \ (v_ {k, j} \), а не \ (v_ {j, k} \). Это потому, что локон равен \ (\ nabla \ times {\ bf v} \), а не \ ({\ bf v} \ times \ nabla \).

    Как и в случае с перекрестными произведениями, тот факт, что \ (j \) и \ (k \) встречаются дважды в \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \) означает, что оба автоматически суммируются от 1 до 3.Термин расширяется до

    \ [ \ matrix { \ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {i11} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {i12} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {i13} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {i22} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {i23} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {i32} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {i33} v_ {3,3} } \]

    Локоны с использованием тензорной записи

    Чтобы получить компонент y th curl, установите \ (i \) равным 2 в приведенном выше уравнении.

    \ [ \ matrix { \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {211} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {212} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {213} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {221} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {222} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {223} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {231} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {232} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {233} v_ {3,3} } \]
    Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух, оставив

    \ [ \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} \; знак равно v_ {1,3} — v_ {3,1} \; знак равно {\ partial \, v_x \ over \ partial z} — {\ partial \, v_z \ over \ partial x} \]
    , что снова согласуется с определяющим результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x th и z th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 3 соответственно.


    Лапласиан

    Лапласиан — это дивергенция градиента функции.3 — z \ cos (y), — \ sin (y) \ right) \]
    И дивергенция градиента (который в конце концов является лапласианом) равна

    \ [ е, _ {ii} = \ nabla \ cdot \ nabla f ({\ bf x}) = 12 x y + z \ sin (y) \]


    Производные продукции

    Правило продукта применяется к производным финансовым инструментам. векторных (и тензорных) произведений так же, как это верно для скалярных произведений. Примеры включают градиент точечного произведения

    \ [ (a_i b_i), _ j = a_ {i, j} b_i + a_i b_ {i, j} \]
    производная от перекрестного произведения

    \ [ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k), _ m = \ epsilon_ {ijk} a_ {j, m} b_k + \ epsilon_ {ijk} a_j b_k, _m \]
    и производное диадического произведения.

    \ [ (a_i b_j), _ k = a_ {i, k} b_j + a_i b_ {j, k} \]

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *