Обозначение v на v: Что значит v — Значения слов

(см. текст в предыдущей редакции)

11. По основаниям, предусмотренным настоящей статьей, правовая охрана также не предоставляется товарным знакам, зарегистрированным в соответствии с международными договорами Российской Федерации.

Что означают буквенные обозначения в названии аппаратов KYOCERA

ВЫЗОВ ИНЖЕНЕРА

Время работы с 9:00 до 18:00 по будним дням

Вызовы по договорам обслуживания и сервисным контрактам — бесплатные.

У моделей TASKalfa (актуального модельного ряда):
> Если в названии 3 цифры (например, TASKalfa 358ci), то это МФУ формата А4,
если 4 цифры (например, TASKalfa 2553ci) — формат А3.
> Скорость печати можно определить по первым двум цифрам названия (например, TASKalfa 4012i – скорость печати 40 стр./мин.)
> «c» после цифр означает – полноцветную печать,
> «i» — наличие системы HyPas.

 Надеемся, Вам понятнее стало обозначение моделей многофункциональных устройств и принтеров KYOCERA. Если у Вас останутся сложности в выборе модели – менеджеры ГК «ОЛВИТ» с удовольствием Вам помогут подобрать наиболее эффективную и выгодную модель под задачи Вашего офиса.

Возврат к списку

Буквенное обозначение фазы и нуля в электрике

Часто новички при взгляде на электросхемы чувствуют себя так, словно эти схемы написаны на китайском и долго не могут разобраться, что же такое $N$ и $L$ в электричестве и с какой стороны подойти к схеме.

Однако, не всё так сложно и у бывалых электриков не возникает вопросов, что же означает та или иная буква и как обозначается фаза и ноль в электрике. Давайте и мы с вами разбираться что к чему.

Как обозначается фаза в электричестве

Определение 1

Фазой в народе называют провод с электрическим током.

Если вы имеете дело с проводом, в котором только одна жила — фаза, то есть токопроводящая, то на схеме для обозначения фазы будет использоваться латинская буква $L$.

В случае же если вам приходится иметь дело со всеми тремя фазами (например, если вам по какой-то причине пришлось залезть в щиток в подъезде) — то все три фазы будут обозначаться буквами $L1$, $L2$, $L3$ соответственно.

Также для трёхфазной системы электроснабжения для обозначения всех трёх фазовых проводников возможно использование букв $A$, $B$, $C$, но по ГОСТ 2.709-89 для России более желательными обозначениями для фазовых проводов являются обозначения $L1$, $L2$, $L3$.

Трёхфазная цепь с тремя проводами называется трёхпроводной, тогда как трёхфазная цепь с четырьмя проводами, один из которых нулевой, а остальные — фазовые, называется четырёхпроводной.

Как обозначается нуль в электричестве

Из уроков физики в школе кто-то, возможно, помнит, что ток может течь только по замкнутым контурам.

Определение 2

Нулевой провод — это как раз провод, необходимый для того чтобы сделать электрический контур замкнутым.

По этому проводу происходит возвращение остаточного тока.

На схеме ноль обозначается буквой $N$, а если нулевой провод совмещён с защитным нулевым (т.е. с заземлением), то такой проводник будет обозначаться буквами $PEN$.

Готовые работы на аналогичную тему

Обозначение нулевого провода буквой $N$ произошло от английского neutral, что переводится как “нейтральный”.

Теперь, наверное, вам стало понятнее, как обозначают фазу и ноль в электрике.

Ниже приведена упрощённая схема снабжения обычной жилой квартиры электрическим током с данными обозначениями:

Рисунок 1. Обозначение фазы и нуля на схеме

На рис. 1 представлена упрощённая схема проведения одного фазного провода в квартиру от трёхфазного источника тока вместе с нулевым проводом, для которого использовано обозначение $N$. Буква же $L$ используется для обозначения фазы как обычно принято в электрике.

На рис. 2 изображено осуществление заземления непосредственно у источника тока, а символами $R_H$ обозначено сопротивление некоторого потребителя тока.

Также на этом рисунке видно, что нулевой провод проведён в квартиру непосредственно от источника тока. При этом заземлён рабочий нулевой провод также у источника. Заземление на рисунке обозначено буквами $ЗМЛ$.

На рисунке 3 представлен другой вариант проведения фазного провода с осуществлением заземления в квартире. Этот вариант является неправильным.

Нулевой провод необходимо проводить непосредственно от источника тока, иначе электрический контур будет незамкнутым.

Рисунок 2. Пример обозначений фазы и нуля в электрических схемах: фаза, ноль и земля и используемые для них буквы

На данном рисунке представлено схематическое изображение подключения розетки.

Нулевой провод обозначен буквой $N$, фазовые напряжения — буквами $L1, L2, L3$, нулевой защитный провод, совмещённый с нейтральным рабочим и проведённый от трасформатора — буквами $PEN$, а заземление на розетке, проведённое от трансформатора – буквами $PE$.

Как видно из рисунка, чтобы измерить фазное напряжение на любом участке сети, необходимо подсоединить вольтметр к нулевому и фазовому проводу.

Заземление на рисунке представлено с помощью специального символа, о котором мы расскажем вам чуть ниже.

Обозначение земли в электрике

Для проводников с напряжением до $1$ кВ заземление обычно обозначают буквами $PE$, эта аббревиатура взята из английского от слов Protective Earthing, что дословно можно перевести как “защитная земля”.

Для обозначения заземления далеко не всегда используются именно буквы, очень часто на схемах используются специальные символьные обозначения, например:

Рисунок 3. Обозначение земли на схемах

Иногда также можно встретить буквенное обозначение $GRD$, оно также произошло от английского и является сокращением слова ground (русс. “земля”), а на первом рисунке из этой статьи использовалось обозначение $ЗМЛ$.

Ну вот и всё, и мы надеемся, что наша статья помогла вам и у вас больше не возникнет вопросов, как обозначаются фаза и ноль на схеме.

Знания того, какие обозначения используются для фазы, ноля и земли на схеме помогут вам с лёгкостью починить розетку, а если вы достаточно хорошо понимаете разницу между обозначениями $N$ $L$ в электрике — то вас никогда не ударит током.

Буквенные обозначения употребляемых в электротехнике величин

Буквенные обозначения наиболее употребляемых в электротехнике величин (ГОСТ 1494-77)

Примечания: 1. Запасные обозначения применяются, когда главные обозначения использовать нерационально, например, если могут возникнуть недоразумения вследствие обозначения одной и той же буквой разных величин. 2. Мгновенные значения ЭДС, электрического напряжения, потенциала, тока, плотности тока, электрического заряда, мощности, электромагнитной энергии следует обозначать соответствующими строчными буквами. 3. Для амплитудных значений величин, являющихся синусоидальными функциями времени, применяется нижний индекс ш (например, 1т).

Обычная нотация — обзор

(i) Модули реализации и гомологии для EHA2 (2): Обозначим через EHA2 (2) класс расширенно-гиперболических алгебр Каца-Муди, чей ассоциированный GCM имеет вид 2 −4 − c − 12 − a − d − b2, то есть класс всех 3 × 3 GCM расширенного гиперболического типа, полученный из аффинной алгебры A2 (2), ассоциированной с GCM 2−4−12. Здесь a, b, c, d∈Z + и ab > 4 или cd > 4.

Сначала мы дадим реализацию для EHA2 (2), которая была сделана ранее в Sthanumoorthy et al.[81] как градуированная алгебра Ли типа Каца – Муди.

Рассмотрим аффинную алгебру Каца-Муди, ассоциированную с GCM A = 2−4−12. Пусть ( h , Π , Π ^∨ ) будет реализацией A с Π = { α ₁ , α ₂ } и Π∨ = {α1 ∨, α2∨}. Тогда имеем следующие билинейные соотношения:

(α1, α1) = 4, (α1, α2) = — 2, (α2, α2) = 1.

Пусть α3 ′ — элемент в h * такой, что α3 ′ (α1∨) = 0, α3 ′ (α2∨) = 1, α3 ′ (α′∨3) = 0.Тогда (α3 ′, α1) = 0, (α3 ′, α2) = 12. Пусть a , b , p — три неотрицательных целых числа, такие что ab > 4 или ( bp ² /4 a )> 4 и ( bp /4 a ) является целым числом с или ≠ 0. Определим

λ = 16a + 4abp + bp216a (2a + p) α1 + 16a − bp28a (2a + p) α2 + b + bp2aα3 ′.

Установить α ₃ = — λ . Сформируем матрицу C = (〈αi, αj〉) i, j = 13. Тогда C = 2−4 − p − 12 − a − bp / 4a − b2 — симметризуемая ОКМ расширенно-гиперболического типа.Пусть V будет интегрируемым неприводимым модулем наибольшего веса по сравнению с G с наибольшим весом λ . Пусть V * будет контрастом V и ψ будет отображением, как определено ранее. Пусть G — алгебра Каца-Муди, связанная с GCM 2−4−12. Сформируйте градуированную алгебру Ли L ( G , V , V *, ψ ). Тогда L ≅ G ( C ) с C = 2−4 − p − 12 − a − bp / 4a − b2.Таким образом, L является симметризуемой алгеброй Каца-Муди расширенного гиперболического типа, ассоциированной с матрицей Картана, которая является расширением матрицы Картана A2 (2). В общем, мы обозначаем класс расширенно-гиперболических алгебр Каца-Муди, ассоциированный с указанным выше GCM, через EHA2 (2). Модули гомологии до уровня 3 для p ≥ 0 были вычислены в Sthanumoorthy et al. [81]. Из реализации L = EHA2 (2) как L = L _— ⊕ L ₀ ⊕ L ₊ = G / I и с использованием инволютивного автоморфизма Достаточно изучить отрицательную часть L _— = G _— / I _— .

(ii). Структура максимального идеала в EHA2 (2): В этом разделе мы исследуем общий случай p ≥ 0 ( p = 0 было сделано ранее в Sthanumoorthy et al. [81]). Сначала исследуем структуру максимального градуированного идеала I . Мы знаем, что идеал I _— из G _— порождается гомологическим подпространством I ₋₂ , и поэтому мы можем записать I− = I− (2). Аналогично для j ≥ 2 запишем I− (j) = Σn≥jI − n, L− (j) = G / I− (j) и N− (j) = I− (j) / I — (j + 1).Согласно гомологической теории, описанной ранее, в общем случае I _{— ( j +1)} ≅ (V⊗I − j) / h4 (L− (j)) — (j + 1) для j ≥ 2. Поскольку G _— является свободным, а I _— генерируется подпространством I ₋₂ из точной пятичленной последовательности Хохшильда-Серра, мы видим, что I _-2 ≅ H ₂ ( L _— ). Но получаем H ₂ ( L _— ) ≅ V (- ( b + 1) α ₃ — α ₂ ) ⊕ V (- (1 + bp /4 a ) α ₃ — α ₁ ).Следовательно, I ₋₂ ≅ V (- ( b + 1) α ₃ — α ₂ ) ⊕ V (- (1 + bp /4 а ) α ₃ — α ₁ ). Когда j = 2, L− (2) совпадает с подпространством η ^— ( S ) для S = {1,2}, и поэтому мы можем вычислить h4 (L− (2)) по формуле Костанта. В этом случае EHA2 (2) имеем

h4 (L− (2)) ≅V (- (ab + a) α3− (a + 1) α2) ⊕V (−α1−2α2− (2b + 1 + bp / 4a) α3) ⊕V (−5α1 − α2 — ((4a + 4ab + 5bp) / (4a)) α3) ⊕V (- (1 + p) α1− (pb / 4a) α3).

Таким образом,

h4 (L− (2)) — 3 = V (−3α3−3α2) ifb = 1, a = 2V (−3α3−3α1) ifb = 2a, p = 2 = 0, в противном случае

и, следовательно, мы получаем I − 3≅ (V⊗I − 2) / h4 (L− (2)) — 3, где h4 (L− (2)) — 3 дано выше. Чтобы определить высшие компоненты, мы объединяем теорию гомологических методов и спектральных последовательностей. Имеем I − 4≅ (V⊗I − 3) / h4 (L− (3)) — 4. Сначала вычислим h4 (L− (3)) — 4. Рассмотрим короткую точную последовательность и соответствующую спектральную последовательность {Ep, qr}, сходящуюся к H * (L− (3)), такую, что Ep, qr≅Hp (L− (2)) ⊗Λq (I − 2).Рассмотрим

. Обратите внимание, что h2 (L− (3)) ≅L− (3) / [L− (3), L− (3)] ≅L − 1 = V. Поскольку спектральная последовательность сходится к H * (L− (3)), имеем h2 (L− (3)) ≅E1,0∞⊕E0,1∞. Но

E1,0∞ = E0,1∞≅h2 (L− (2)) ≅L− (2) [L− (2), L− (2)] ≅L − 1 = V,

что следует E1,0∞ = E0,13 = 0. Следовательно, гомоморфизм d ₂ сюръективен. Поскольку E2,02≅I − 2 и E2,02≅I − 2, d ₂ должно быть изоморфизмом. Таким образом, E2,03 = 0. Следовательно, E2,0∞ = 0. Теперь рассмотрим последовательность. Мы имеем

E3,02≅h4 (L− (2)) ≅V (- (2b + 1 + bp / 4a) α3 − α1−2α2) ⊕V (- (ab + b) α3− (a + 1) α2) ⊕V (- (bp / 4a (p + 1)) α3− (p + 1) α1) ⊕V (- (4a + 4ab + 5bp) / (4a) α3−5α2−5α1 ) и E1,12≅h2 (L− (2)) ⊗I − 2≅V⊗I − 2.

Тогда V ⊗ I ₋₂ представляет собой прямую сумму неприводимых модулей над A2 (2) уровня b + 3 + bp /4 a . Затем, сравнивая уровни обоих членов E3,02 и E1,12 в, мы видим, что d ₂ тривиально. Итак, E3,03 = E3,02 и E1,1∞ = E1,13 = E1,12≅V⊗I − 2. Поскольку I− (3) порождается I ₋₃ , мы получаем h3 (L− (3)) ≅I − 3. Но имеем h3 (L− (3)) ≅E2,0∞⊕E1,1∞⊕E0,2∞. Отсюда следует, что E0,2∞ = E0,24 = 0.Следовательно, гомоморфизм сюръективен. Поскольку E0,2∞ является подмодулем E0,23≅Λ2 (I − 2), мы видим, что d ₃ тривиально. Отсюда следует E3,0∞ = E3,04 = E3,03 = E3,02≅h4 (L− (2)) и E0,23 = 0. Таким образом, гомоморфизм сюръективен в следующей последовательности:

Опять же, сравнивая уровни, мы заключаем, что гомоморфизм должен быть тривиальным. Следовательно, E4,02 = E4,03 и

. Мы имеем d ₂ ≅ S ² ( I ₋₂ ). Следовательно, E2,1∞≅S2 (I − 2).Теперь рассмотрим последовательность. Сравнивая уровни, мы видим, что гомоморфизм тривиален. Таким образом, E1,23 = E1,22≅V⊗Λ2 (I − 2). Опять же, сравнивая уровни членов в последовательности, мы видим, что d ₃ тривиально. Следовательно, E1,2∞ = E1,24 = E1,23 = E1,22≅V⊗Λ2 (I − 2). Наконец, поскольку E0,3∞ является подмодулем E0,32≅Λ3 (I − 2), получаем

h4 (L− (3)) ≅V (- (2b + 1) α3 − α1−2α2) ⊕V (- (ab + b) α3− (a + 1) α2) ⊕V (- (4a + 4ab + 5bp) α3) α2−5α1) ⊕V (- (bp / 4a (p + 1)) α3− ( p + 1) α1) ⊕S2 (I − 2) ⊕V⊗Λ2 (I − 2) ⊕M,

, где M — неприводимое представление со старшим весом (уровня> 4) прямой суммы A2 (2) .Следовательно, получаем

h4 (L − 3) −4≅V (−4α3− (a + 1) α2), если a = 1, b = 2orb = 1, a = 3V (−4α3− (p + 1) α1) если bp = 4a, p = 3orbp = 8a, p = 1S2 (I − 2), если b = 1 = 0, в противном случае.

Теперь определим I ₋₅ . Начнем с точной последовательности и соответствующей спектральной последовательности {Ep, qr}, сходящейся к H * (L− (4)) такой, что Ep, q2≅Hp (L− (3)) ⊗Λq (I − 3). Мы вычислим h4 (L− (4)) — 5 по этой спектральной последовательности. Легко показать, что это изоморфизм и что E2,0∞ = 0. Рассмотрим последовательность,

Из предыдущего уравнения получаем E3,02≅h4 (L− (3)) и E1,12≅h2 (L− (3)) ⊗I − 3≅V⊗I − 3 и уровень отличается в E3,02 и E1,12.Следовательно, d ₂ = 0. Итак, h4 (L− (3)) = 0, и, следовательно, мы получаем h3 (L− (4)) ≅I − 4. Имеем E1,1∞ = E1,13 = E1,12 / Id2≅V⊗I − 3 / Id2 — прямое слагаемое в h3 (L− (4)). Таким образом, E0,2∞ = 0, откуда следует, что E0,24 = 0. Таким образом, гомоморфизм d ₃ сюръективен в последовательности

Поскольку E0,23 является подмодулем E0,22≅Λ2 (I − 3), сравнивая уровни E3,03 и E0,23, мы видим, что d ₃ = 0. Таким образом, E3,0∞ = E3,04 = E3,03 = E3,02. Итак, мы имеем

(E3,0∞) −5 = (E3,02) −5≅h4 (L− (3)) — 5 = V (−5α3−2α2 − α1), еслиb = 2V (−5α3−5α1 ) если a = 2, p = 40 в противном случае.

Аналогично (E2,1∞) −5 = (E1,2∞) −5 = (E0,3∞) −5 = 0. Следовательно, получаем

h4 (L− (4)) — 5 = V (−5α3−2α2 − α1), если b = 2V (−5α3−5α1), если a = 2, p = 40, иначе

I − 5≅ ( V⊗I − 4) / h4 (L− (4)) — 5, где h4 (L− (4)) — 5 дано выше. Из приведенных выше уравнений мы получаем структуру компонентов максимального идеала I (до уровня 5) в расширенно-гиперболической алгебре Каца-Муди EHA2 (2). Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Правила и примеры научной записи

Цель этого модуля — предоставить студентам инструменты, необходимые для использования научных обозначений для представления величин, применения электрических единиц измерения, преобразования метрических единиц и выражения измеренных данных с помощью надлежащего количества значащих цифр.

Объектив

Обучающийся сможет:

• Используйте экспоненциальную нотацию для представления величин
• Преобразование одной метрической электрической единицы в другую метрическую
• Преобразование из одной единицы с метрическим префиксом в другую в экспоненциальном представлении
• Экспресс-измерения с правильным количеством значащих цифр.

Ориентировочные вопросы

• Как представить чрезвычайно большие или малые величины в экспоненциальном представлении?
• Каковы процессы выполнения арифметических операций с использованием экспоненциальной записи?
• Как преобразовать измерения, содержащие метрические префиксы?

Введение

При работе с очень большими или малыми количествами ученые и инженеры используют научную нотацию как форму представления.В электронике научная нотация — важный инструмент для представления электрических величин. Важные навыки включают в себя умение выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), используя научную нотацию, и умение конвертировать единицы измерения в метрические единицы.

Очень большие и очень маленькие количества часто встречаются в электронике. Вместо огромного количества цифр используется научная нотация.

Научная запись — это удобный способ выражения больших или малых чисел для выполнения арифметических и других функций. Он использует базовое число от 1 до 10 и степень от десяти . Степень десяти — это представление десятичного базового числа и показателя степени, указывающего, сколько раз базовое число увеличивается. Степень десяти представлена ​​символом, написанным сверху и справа от цифры, или показателем степени .

Например, если бы мы представили 230 000 в экспоненциальной системе счисления, мы бы переместили десятичную точку влево до тех пор, пока не получим число от 1 до 10 в левой части десятичной дроби.

В этом случае мы переместим десятичную точку между 2 и 3.

Затем мы посчитаем количество цифр справа от десятичной дроби. В нашем примере их 5. Таким образом, 230 000 будут представлены как 2,3 X 10 ⁵ .

В научном представлении может быть только число меньше 10 слева от десятичной дроби. Любые числа справа от десятичной дроби, больше нуля, должны оставаться в базовом числе. Как и в приведенном выше примере, мы оставили 3 в базовом числе, так как оно больше нуля.

Чтобы преобразовать число, представленное в научном представлении, в десятичное, мы просто переместим десятичную дробь вправо на количество разрядов, обозначенное экспонентой.

Пример

Давайте возьмем следующее число и переведем его в научное представление:

2,500,000 Наш номер

2.5 Мы помещаем десятичную дробь между 2 и 5, что дает нам базовое число от 1 до 10.

2.5 X 10 ⁶ Мы переместили десятичную запятую на 6 разрядов влево.

Маленькие числа

При работе с маленькими числами десятичная дробь перемещается вправо. Вместо положительной экспоненты (степени десяти) она отрицательная. Это не означает, что число отрицательное.

Например, если мы хотим представить количество 0,00000362, мы бы переместили десятичную дробь вправо, пока не получим число от 1 до 10. В этом случае наша десятичная дробь будет между 3 и 6.

Затем мы посчитаем, сколько цифр находится слева от десятичной дроби. В нашем примере мы переместили десятичную запятую на 6 разрядов. В нашем примере будет 3,62 X 10 ^-6 .

Обратите внимание, мы оставили 2, потому что это число больше нуля.

Чтобы преобразовать небольшое число, представленное научным представлением, в десятичное число, мы перемещаем десятичную дробь влево на количество разрядов, указанное экспонентой.

Пример

Представим следующее десятичное число в экспоненциальном представлении:

0.000 000 025 наш номер.

2,5 Мы переместили десятичную запятую вправо, чтобы получить нашу базу 2,5, которая находится между 1 и 10.

2,5 X 10 ^-8 Мы переместили десятичную запятую на 8 разрядов вправо, получив показатель степени (-8).

Другие примеры

516,570,000,000,000 = 5,1657 X 10 ¹⁴

0,000100972 = 1,00972 X 10 ^-4

4683.8 = 4,6838 Х 10 ³

0,05871 = 5,871 X 10 ^-2

7,55 Х 10 ² = 755

190 X 10 ⁶ = 190 000 000

1,23 X 10 ^-6 = 0,00000123

9 X 10 ^-3 = 0,009

Просмотрите видео ниже, прежде чем переходить к следующему разделу.

Видео с научной нотацией

Научная нотация упрощает арифметические операции с очень большими и очень маленькими числами.Это оставляет меньше места для ошибок.

Дополнение

Мы складываем числа в экспоненциальном представлении, используя следующий метод:

1. Выразите оба числа с одинаковой степенью десяти.
2. Сложите основные числа.
3. Опустите степень десяти, чтобы представить новую степень десяти для суммы.
4. Упростите так, чтобы базовое число было от 1 до 10.

Пример

Как сложить 3 X 10 ⁵ плюс 6 X 10 ⁴ ?

Нам нужно сначала выразить числа, используя ту же степень десяти:

(3 X 10 ⁵ ) + (60 X 10 ⁵ )

Добавьте основные числа:

3 + 60 = 63

Опустите силу десяти:

63 Х 10 ⁵

Упростите так, чтобы в основе лежало число от 1 до 10:

6.3 Х 10 ⁶

Вычитание

При вычитании степеней десяти используется следующий метод:

1. Выразите оба числа с одинаковой степенью десяти.
2. Вычтите основные числа без их степени десяти.
3. Опустите степень десяти, чтобы обозначить разницу.
4. Упростите так, чтобы базовое число было от 1 до 10.

Пример

Вот пример вычитания чисел, выраженных в степенях десяти:

Вычтем 3.5 X 10 ^-12 от 9,5 X 10 ^-11

Сначала представим оба числа в одинаковой степени десяти:

(9,5 X 10 ^-11 ) — (0,35 X 10 ^-11 )

Вычтите основные числа:

9,5 — 0,35 = 9,15

Обрушьте силу десяти:

9,15 х 10 ^-11

Научная запись: сложение и вычитание

Умножение

Для умножения чисел, выраженных в экспоненциальном представлении, используйте следующий метод:

1. Умножайте основные числа без десятичной степени.
2. Сложите степени десяти, используя алгебраические правила сложения чисел (степени не обязательно должны быть одинаковыми).

Пример

Умножить 6 X 10 ³ на 4 X 10 ^-5

Умножьте основные числа: (6) (4) = 24

Сложите показатели: 3 + (-5) = -2

Товар: 24 X 10 ^-2

Упрощенное: 2,4 X 10 ^-1

Отдел

Для деления чисел, выраженных в экспоненциальном представлении, используйте следующий метод:

1. Запишите задачу в виде дроби с числителем и знаменателем.{4}}}
   долларов США

   Разделите основные числа:

   7 / 3,5 = 2

   Вычтите экспоненты:

   9–4 = 5

   Частное: 2 X 10 ⁵

   Научная запись: умножение и деление

   Преобразование мер с метрическими префиксами

   В области электроники вы будете иметь дело с измеряемыми величинами.Вы будете измерять напряжение, ток и сопротивление, а также многие другие электрические величины. Все эти измерения имеют определенные единицы и символы, которые используются в сочетании с техническими обозначениями.

   Инженерное обозначение

   Подобно научной нотации, инженерная нотация использует ту же концепцию «степени десяти». Разница в том, что инженерная нотация может содержать до трех цифр слева от десятичной дроби. Кроме того, инженерная нотация может иметь экспоненты, кратные трем (3, 6, 9 и т. Д.).).

   Пример

   Ниже приведены несколько примеров чисел, представленных как в научных, так и в инженерных обозначениях:

   Номер Научное обозначение инженерное обозначение

   23000 2,3 х 10 ⁴ 23 х 10 ³

   500 5 X 10 ² 500 или.5 Х 10 ³

   0,000052 5,2 X 10 ^-5 52 X 10 ^-6

   Электрооборудование

   Электрические единицы и количества представлены буквенным обозначением. Ниже приведена таблица некоторых общих электрических величин, SI (международный стандарт), и символы:

   КОЛИЧЕСТВО	СИМВОЛ	БЛОК СИ	СИМВОЛ
   Напряжение	В	Вольт	В
   Текущий	I	Ампер (А)	А
   Заряд	Q	Кулон	С
   Сопротивление	R	Ом	Ом
   Емкость	С	Фарад	F
   Индуктивность	L	Генри	H
   Мощность	P	Ватт	Вт
   Энергия	Вт	Джоуль	Дж
   Время	Т	секунд	S
   Частота	F	Герц	Гц

   
   Праймер по электрическим единицам, сокращения и символы 1-2

   Метрические префиксы

   Метрические префиксы представляют собой некоторые из наиболее распространенных степеней десяти в инженерной нотации.Ниже представлена ​​таблица с наиболее распространенными префиксами метрик:

   Префикс	Префикс Символ	Значение
   Пико	P	10 -12	= 0,000 000 000 001
   нано	n	10 -9	= 0,000 000 001
   микро	µ	10 -6	= 0.000 001
   милли	м	10 -3	= 0,001
   кг	к	10 3	= 1000
   Мега	M	10 6	= 1000000
   Гига	G	10 9	= 1000000000
   Тера	Т	10 12	= 1 000 000 000 000

   Пример

   Покажите следующий номер с префиксом и символами единиц:

   0.005 Volts Наш номер

   5 X 10 ^-3 В в экспоненциальном представлении

   5 м Вольт В нашей таблице мы видим 10 ^-3 представлено м

   5 мВ Обозначение для вольт: В

   Конвертация в метрические единицы

   Для выполнения некоторых вычислений с использованием метрических единиц удобнее преобразовывать префиксы метрики. При преобразовании префиксов необходимо соблюдать несколько основных правил:

   1. Переместите десятичную запятую вправо при преобразовании больших единиц в меньшие.
   2. Переместите десятичную точку влево при преобразовании малых единиц в большие.
   3. Найдите разность степеней десяти, чтобы решить, на сколько позиций переместить десятичную запятую.

   Пример

   1. Преобразовать 3 миллифарада в микрофарады.

   Используя приведенную выше таблицу, мы видим, что mF — это миллифарады (10 ^-3 ). Микрофарад — 10 ^-6 . Поскольку микрофарады меньше миллифарадов, мы переместим десятичную запятую на три позиции вправо.Это даст 300 мкФ.

   2. Перевести 4000 наноампер в микроампер.

   Мы переместим десятичную запятую на три позиции влево.

   4000 нА = 4000 X 10 ^-9 A = 4 X 10 ^-6 = 4 мкА

   3. Преобразовать 1600 килоом в мегаом

   Мы переместим десятичную запятую на три позиции влево.

   1600 кОм = 1600 X 10 ³ = 1,6 X 10 ⁶ = 1.6 МОм

   Научная запись

   Научная нотация (также называемая Стандартной формой в Великобритании) — это особый способ записи чисел:

   Как это:
   Или это:

   Позволяет легко использовать большие и маленькие значения.

   Хорошо, как это работает?

   Пример: 700

   Почему 700 записывается как 7 × 10 ² в научной нотации?

   700 = 7 × 100

   , поэтому 700 = 7 × 10 ²

   И 700 , и 7 × 10 ² имеют одинаковое значение, но показаны по-разному.

   Пример: 4 900 000 000

   1000000000 = 10 ⁹ ,
   , поэтому 4

   0000 =

   4.9 × 10 ⁹ в научной нотации

   Число записывается в из двух частей :

   • Всего цифр с десятичной запятой после первой цифры, за которой следует
   • × 10 в степень , которая помещает десятичную запятую туда, где она должна быть
     (т.е. показывает, на сколько мест нужно переместить десятичную запятую).

   
   В этом примере 5326,6 записывается как 5,3266 × 10 ³ ,
   потому что 5326.4 = 3 × 10 × 10 × 10 × 10 = 30,000

Калькуляторы часто используют «E» или «e», например:

Пример: 6E + 5 совпадает с 6 × 10 ⁵

• 6E + 5 = 6 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 600000

Пример: 3.12E4 то же самое, что 3.12 × 10 ⁴

• 3.12E4 = 3,12 × 10 × 10 × 10 × 10 = 31 200

Как это сделать

Чтобы вычислить степень 10, подумайте: «На сколько раз переставить десятичную точку?»

	Когда число 10 или больше, десятичная точка должна сместиться на влево на , а степень 10 равна положительному .
	Когда число меньше 1, десятичная точка должна переместиться на вправо , поэтому степень 10 будет отрицательным .

Пример: записано 0,0055

5,5 × 10 ^-3


Потому что 0,0055 = 5,5 × 0,001 = 5,5 × 10 ^-3

Пример: записано 3.2

3.2 × 10 ⁰


Нам вообще не нужно было перемещать десятичную точку, поэтому степень равна 10 ⁰

Но теперь в научной нотации

Проверить!

После ввода числа в научную нотацию просто проверьте, что:

• Цифры от 1 до 10 (это может быть 1, но не 10)
• «Степенная» часть показывает, на сколько именно мест нужно переместить десятичную запятую.

Зачем это нужно?

Потому что это упрощает работу с очень большими или очень маленькими числами, которые часто встречаются в научной и инженерной работе.

Пример: проще писать (и читать) 1,3 × 10 ^-9 , чем 0,0000000013

Он также может упростить вычисления, как в этом примере:

Пример: крошечное пространство внутри компьютерного чипа было измерено как 0,00000256 м в ширину, 0,00000014 м в длину и 0,000275 м в высоту.

Каков его объем?

Давайте сначала преобразуем три длины в экспоненциальное представление:

• ширина: 0.000 002 56m = 2,56 × 10 ^-6
• длина: 0,000 000 14м = 1,4 × 10 ^-7
• высота: 0,000 275 м = 2,75 × 10 ^-4

Затем умножьте цифры (игнорируя × 10):

2,56 × 1,4 × 2,75 = 9,856

Наконец, умножаем на 10:

10 ^-6 × 10 ^-7 × 10 ^-4 = 10 ^-17 (проще, чем кажется, просто сложите вместе −6, −4 и −7 )

Результат: 9.856 × 10 ^-17 м ³

В науке много используется:

Пример: Солнца, Луны и планеты

Солнце имеет массу 1,988 × 10 ³⁰ кг.

Легче, чем написать 1,988,000,000,000,000,000,000,000,000,000 кг
(и это число дает ложное представление о точности многих цифр).

Это также может сэкономить место! Вот что происходит, когда вы удваиваете на каждом поле шахматной доски:


Значения округлены, поэтому 53,6870,912 отображается как 5 × 10 ⁸

Последнее значение, показанное как 9 × 10 ¹⁸ , на самом деле 9 223 372 036 854 775 808

Инженерное обозначение

Engineering Notation похожа на Scientific Notation, за исключением того, что мы используем только степени десяти, кратные 3 (например, 10 ³ , 10 ^-3 , 10 ¹² и т. Д.).

Примеры:

• Написано 2700 2,7 × 10 ³
• 27000 записано 27 × 10 ³
• 270,000 записано 270 × 10 ³
• записано 2,700,000 2,7 × 10 ⁶

Пример: записано 0,00012

120 × 10 ^-6

Обратите внимание, что часть «цифры» теперь может быть от 1 до 1000 (это может быть 1, но не 1000).

Преимущество состоит в том, что мы можем заменить × 10 s на метрические числа. Таким образом, мы можем использовать стандартные слова (например, тысяча или миллион), префиксы (например, кило, мега) или символ (k, M и т. Д.)

Пример: записано 19,300 метров 19,3 × 10 ³ м, или 19,3 км

Пример: записано 0,00012 секунд 120 × 10 ^-6 с, или 120 микросекунд

Инженерное обозначение | Десятичные префиксы

Инженерное обозначение | Десятичные префиксы

До сих пор мы рассматривали только числовые значения, однако в науке и технике мы чаще всего имеем дело с измеряемыми величинами. количества, е.грамм. метры (м), вольт (В), ньютоны (Н) и т. д.

Следовательно, используя научную нотацию, мы могли бы иметь такие значения, как.

• 2 x 10 ³ м.
• 5 x 10 ^-3 В.
• 2,5 x 10 ⁴ Н.

Десятичные префиксы.

У некоторых степеней десяти есть собственный символ, например k (килограмм) эквивалентно (x 10 ³ ). Они называются десятичными префиксами. В инженерной системе обозначений мы пишем десятичные префиксы перед единицами вместо степени десяти.например Вместо 2 x 10 ³ м, мы бы написали 2 км (2 км). В таблице ниже показаны десятичные префиксы для мощностей от 10 ^-12 до 10 ¹² .

Мощность 10	Десятичный префикс	Символ
10 12	Терра	Т
10 9	Гига	G
10 6	мега	M
10 3	кг	к
10 -2	санти	с
10 -3	милли	м
10 -6	микро	µ
10 -9	нано	м
10 -12	пик	с.

Обратите внимание, что нет соответствующего десятичного префикса для каждой степени 10.Поэтому для некоторых чисел мы должны сначала переместить десятичную точку и отрегулировать степень 10, пока она не совпадет с одним из десятичных префиксов.
например 2 x 10 ⁴ м, то же самое, что 20 x 10 ³ м, и поэтому может быть записано как 20 км.

Поэтому, в отличие от научных обозначений, в технических обозначениях перед десятичной точкой может стоять более одной цифры. Однако там перед десятичной запятой должно быть не менее одной цифры и не более трех.Таким образом, хотя такие значения, как 0,1 мВ и 2000 кА, строго говоря, не являются неправильными, это больше условно выражать их как 100 кВ и 2 мА соответственно.

1.3: Научно-техническая нотация

Ученые и инженеры часто работают с очень большими и очень маленькими числами. Обычная практика использования запятых и ведущих нулей в этой ситуации оказывается очень обременительной. Научная запись является более компактным и менее подверженным ошибкам методом представления.Число делится на две части: часть точности (мантисса) и часть величины (показатель степени, являющийся степенью десяти). Например, значение 23000 может быть записано как 23 умноженное на 10 в третьей степени (то есть умноженное на одну тысячу). Показатель степени можно рассматривать с точки зрения того, как десятичная точка перемещается влево. Это неудобно писать по буквам, поэтому используется сокращенный метод, когда «умноженное на 10 в степени X» заменяется буквой E (которая обозначает показатель степени). Таким образом, 23000 можно было записать как 23E3.Значение 45000000000 будет записано как 45E9. Обратите внимание, что это число также можно было бы записать как 4.5E10 или даже 0.45E11. Единственная разница между научной и инженерной нотацией состоит в том, что для инженерной нотации показатель степени всегда кратен трем. Таким образом, 45E9 — это правильная инженерная нотация, а 4.5E10 — нет. На большинстве научных калькуляторов E обозначается кнопкой «EE» или «EXP». Процесс ввода значения 45E9 будет происходить при нажатии клавиш 4 5 EE 9.

Для дробных значений показатель степени отрицательный, и его можно рассматривать в терминах того, на сколько знаков десятичная точка должна быть перемещена вправо. Таким образом, 0,00067 можно записать как 0,67E-3, 6,7E-4 или даже 670E-6. Обратите внимание, что только первый и последний из этих трех приемлемы в качестве инженерных обозначений.

Инженерная нотация идет еще дальше, используя набор префиксов для замены кратных трем экспоненты. Префиксы:

E12 = Tera (T)	E9 = Гига (G)	E6 = Мега (М)	E3 = килограммы
E − 3 = милли (м)	E − 6 = микро (\ (\ mu \))	E − 9 = нано (n)	E − 12 = пико (p)

Таблица \ (\ PageIndex {1} \)

Таким образом, 23000 вольт можно записать как 23E3 вольт или просто 23 киловольта.

Помимо того, что эта запись более компактна, она намного проще, чем обычная форма, при работе со значениями в широком диапазоне. При умножении просто умножайте доли точности и складывайте экспоненты. Точно так же при делении разделите части точности и вычтите экспоненты. Например, 23000 умножить на 0,000003 может показаться сложной задачей. В технических обозначениях это 23E3 умноженное на 3E − 6. Результат — 69E − 3 (то есть 0,069). При достаточной практике станет второй натурой, что килограммы (E3), умноженные на микро (E-6), дают милли (E-3).Это значительно облегчит лабораторные оценки. Продолжая, 42000000 делить на 0,002 равно 42E6, деленному на 2E − 3, или 21E9 (показатель степени равен 6 минус отрицательное 3 или 9).

При сложении или вычитании сначала убедитесь, что показатели одинаковы (масштабирование, если требуется), а затем добавьте или вычтите части точности. Например, 2E3 плюс 5E3 — это 7E3. Для сравнения, 2E3 плюс 5E6 — это то же самое, что 2E3 плюс 5000E3 или 5002E3 (или 5.002E6).

Выполните следующие операции. Преобразуйте следующее в научную и техническую нотацию.

1. 1500

2. 63 200 000

3. 0,0234

4. 0,000059

5,170

Преобразуйте следующую запись в обычную длинную запись:

6. 1.23E3

7. 54.7E6

8. 2E − 3

9. 27E − 9

10. 4.39E7

Используйте соответствующий префикс для следующего:

11. 4E6 вольт

12. 5.1E3 футов

13. 3,3E − 6 грамм

Выполните следующие операции:

14.5.2E6 + 1.7E6

15. 12E3 — 900

16. 1.7E3 \ (\ cdot \) 2E6

17. 48E3 / 4E6

18. 20 / 4E3

19. 10 млн \ (\ cdot \) 2 к

20. 8 л / 2 м

Обозначение теории графов

Обозначение теории графов

Как обозначать количество вершин и количество ребер графика

G ?

Другие вопросы по терминологии можно найти здесь.

Скоро пересмотрю свой учебник по теории графов Введение в теорию графов .Сначала я хотел чтобы узнать, как исследователи и пользователи теории графов ответят на поставленный выше вопрос. Для этих величин использовалось много разных обозначений. Например,
количество вершин: | V (G) |, n (G) , | G |, v (G) , \ nu (G)
количество ребер: | E (G) |, м (G) , || G ||, e (G) , \ epsilon (G)

В интересах облегчения общения я решил изменить обозначение для следующего издания моего учебника, если я обнаружу преобладающее предпочтение об этом в сообществе теории графов.Оказалось, что было такое предпочтение, совершенно неожиданное для меня, потому что, по сути, «Ни один из вышеперечисленных!» к вариантам специальных обозначений.

Благодарю всех, кто прислал голоса и наводящие на размышления комментарии. Опыт был довольно унизительно. Я был очень удивлен сильной поддержкой | V (G) | и | E (G) |. После подведения итогов голосования я обсуждаю различные варианты и что я сделаю с учетом наблюдений, сделанных избирателями.

Спасибо за голосование,
Дуглас Уэст

Итоги голосов

Подсчет голосов был несколько затруднен, потому что некоторые респонденты не сделали этого. дали четкий ответ или представили другие альтернативы, поэтому итоги ниже приблизительный.Некоторые респонденты особенно потрудились проголосовать против альтернативы; эти голоса «против» указаны в скобках. Я продолжу обновлять итоги, если будут новые голоса.

| V (G) |, | E (G) | ….. 56 | V G |, | E G | …………. 4 (1) | V |, | E | …………….. 6 v (G), e (G) ……….. 7 v, e ………………….. 1 \ nu (G), \ eps (G) … 3 (1)

n (G), e (G) ……………… 5 n, e ………………………… 2 n (G), m (G) ; n G , м G … 9 н, м ………………………. 13 | G |, || G || ………………… 7 (5) | G |, e (G) ………………… 1

Фолькер Штрел предположил еще одну возможность, которая не пришла мне в голову, когда я предложил голосование, и я провел дополнительное голосование по нему:

#V (G), # E (G) : приемлемо 18, недопустимо 28

Это обозначение позволяет избежать основных возражений против других вариантов.К несчастью, в настоящее время отсутствует аспект «мгновенного распознавания» | V (G) | а также | E (G) | что привлекло к этому варианту множество избирателей. Также были эстетические возражений (некоторые считают это более длительным, менее привычным для студентов, чрезмерно зависит от английского, уродливого и т. д.). Еще одно возражение заключалось в том, что мы все равно хочу использовать | S | для размера набора вершин S , но я не вижу трудности с использованием этого тоже.

Одна из причин, по которой мне нравятся эти обозначения, — их способ чтения.| V (G) | читает как «размер набора вершин G «, а #V (G) читается как «количество вершин G «, что мы и имели в виду. Отто Смит отмечает что #V (G) #V (H) яснее, чем | V (G) || V (H) |, а || нотация ухудшается по мере того, как описание графа внутри становится длиннее.

Я лично считаю, что это лучшая из доступных обозначений, и она согласуется с использование # в # { x : условие на x }, что, я думаю, увеличивается.По учебнику он будет знаком и прозрачный. Однако очевидно, что слишком многие в сообществе считают это неприемлемым.

Предыдущее использование

Спасибо Daniele Degiorgi за ссылки, которых не было в моем первоначальном списке:
2. p , q — Harary / Norman / Cartwright (1965), Harary (1969), Харари / Бакли (1989), Бейнеке / Уилсон (1978, 1983, 1988), Гулд (1988)
3. \ nu (G) , \ epsilon (G) — Бонди / Мурти (1976)
4. v (G) , e (G) — Бонди / Мурти (2007)
5. v , e — Уоллис (2000)
6. | G |, e (G) — Боллобас (1978, 1979, 1998)
7. n , | E | — Гиббонс (1985)
8. n (G) , e (G) — Запад (1996, 2001)
9. n , m — Chartrand / Lesniak (1979, 1986, 1996, 2005), Бакли / Левинтер (2002), Фолькманн (1991, 1996)
10. | G |, || G || — Дистель (1996, 2000, 2005)
11. Никаких общепринятых специальных обозначений — Кениг (1936), Оре (1962), Вагнер (1970), Уилсон (1972, 1979, 1985, 1996), Биггс (1974, 1993), Трюдо (1976, 1993), Андрасфаи (1977, 1991), Карре (1979), Эвен (1979), Голумбик (1980, 2004), Туласираман / Свами (1981, 1992), Айгнер (1984), Тутт (1984), Халин (1989), Халин (1989), Део (1990), Уилсон / Уоткинс (1990), Кларк / Холтон (1991), Фулдс (1992), Гросс / Йеллен (1999, 2006), Олдос / Уилсон (2000), Меррис (2001), Годсил / Ройл (2001).Большинство из них, когда требуется количество вершин или количество ребер G , применить | X | к какой бы нотации X они ни называли набор вершин набора ребер G .

Анализ комментариев

Как автор учебника, который хочет упростить общение со студентами по В длинном курсе книги я искал обозначения, которые были бы краткими и элегантными в эта настройка и будет широко принята. Большинство респондентов не ответили с точки зрения учебника, поскольку они больше работают в контексте исследования документы.Тем не менее, они высказали мнение, что стоит задуматься.

|

V (G) | и | E (G) | Большинство респондентов заявили, что предпочитают это обозначение, потому что оно в значительной степени недвусмысленный, понятный и почти универсальный. Это желательно при поиске результата в учебнике; никто не хотите найти определения, возможно, незнакомой нотации. Вторичный причина в том, что это обозначение позволяет избежать большинства недостатков других параметры. Он не вносит математических противоречий и не ввести дополнительные обозначения, которые студенты должны выучить, когда начнут изучать теорию графов.

Есть некоторые недостатки. Это обозначение относится к порядку и размеру. как результат двухэтапных операций над графом, а не как аспекты графа такие простые и фундаментальные, как максимальная степень (некоторые респонденты сочли это возражение слабым). Кроме того, формулы, использующие эту нотацию, немного загромождены. Некоторые респонденты противодействовать возражению против длины, сказав, что | V (G) | и | E (G) | будет сокращено до | V | и | E |, что я не считаю хорошим идея.

Я думаю, что большинство исследователей, когда они работать над проблемами графа. Действительно, многие респонденты, предпочитающие этот вариант, сообщают что они избегают тяжести таких формул, используя n и m , письмо n = | V (G) | и м = | E (G) | или просто зарезервировав эти символы предназначены для этой цели. Проблема с изготовлением обычного декларация в учебнике — это как раз проблема, заключающаяся в том, что использование | V (G) | и | E (G) | было предназначено избежать.Во-первых, это местный условность, в которой нельзя быть уверенным при просмотре середины текста. Во-вторых, когда в обсуждении участвует более одного графика, необходимость изменения n для каждого графа делает глобальное соглашение несостоятельным.

Чтобы использовать соглашение без глобального цемента между n и G , можно написать такие предложения, как «Пусть G будет графом с n вершинами и м и краев «при указании результата в терминах этих параметров.Харари сделал это кратко, написав: «Пусть G будет (p, q) -граф», но сейчас это соглашение используется редко. Можно также использовать n в формула около G , а затем добавьте «где n = | V (G) |».

В моем втором издании уже есть много упражнений, в которых указано, что G n -вершинный граф. Учитывая отсутствие математических противоречий в этом При таком подходе становится трудно игнорировать подавляющую поддержку этого варианта.

В ответ я сначала попробовал написать статью без операторов для порядок и размер графика. Было больно. Однако после пересмотра графика Теоретический раздел моего учебника для выпускников Комбинаторная математика (еще не опубликовано) для использования в моем аспирантуре в этом семестре, я должен сказать, что это не так уж и плохо.

Верно, что гораздо больше примеров: «Пусть G будет вершиной n . график «необходимо добавить. Однако более последовательное использование n и м для порядка и размера графика (резко сокращая другие варианты использования эти буквы) приводит к более плавному ощущению.Правда, | V (G) | а также | E (G) | появляются время от времени в формулах, когда график был обсуждается без предварительной ссылки на заказ или размер, или при рассмотрении вычисление по всем подграфам. Однако часто можно избежать кардинальности формула с использованием английского языка и выражений типа «letting n = | V (G) |».

Другое преимущество состоит в том, что то, что я говорю студентам в книге, теперь согласятся лучше с реальной практикой. Большинство исследователей используют n и (меньше часто) м как само собой разумеющееся при обсуждении конкретного графа.Учебник не должен просто объявлять, что каждый график, выраженный как G , имеет n вершин, но он может сохранять точность использования при ознакомлении студенты с привычкой использовать n для размера набора вершин.

Я бы предпочел иметь простые обозначения для них как параметры график, но все доступные краткие варианты имеют недостатки, как описано ниже. Эти выборы были решительным отказом от каждого из них. Это удивило меня, это открыло мне глаза, и это позволило мне отпустить мое прошлое обозначения и рассмотреть альтернативы объективно, придя к выводу описано выше.

|

V _G | и | E _G | Респонденты, которые предпочли это, на самом деле обращались к другому вопросу. Они возражают против обработки V и E как функций на входном графе. С V _G и E _G можно было подавить индекс, когда граф понимается (как мы делаем со степенью вершины функция d _G ), получив обычные V и E .Многие сторонники | V (G) | и | E (G) | нравится делать это также, но в нижнем индексе это кажется более оправданным. Однако в словах V (G) или V _G значение набор вершин OF G «. Значит, функциональные обозначения подходят по смыслу. Кроме того, Артур Хоббс заметил, что когда многие графики G ₁ , …, G _k присутствуют, обозначения V (G _i ) менее неудобен, чем V _{G i} .Наконец, V (G) и E (G) используются гораздо шире, чем V _G и E _G .
n (G) и m (G) Как и все варианты, использующие круглые скобки, они рассматривают порядок и размер как график. параметры (результат оценки). К сожалению, это непоследовательно использовать n (G) , а также использовать только n как количество вершин конкретный граф. Хотя ранее я избегал использования n и n (G) вместе в одной дискуссии, этот конфликт все еще беспокоил меня.Один не следует использовать ту же нотацию, что и имя функции, и значение этой функции в одной точке. Это обычное и достойное сожаления злоупотребление. обозначений в математике. Я не говорю, что граф имеет максимальную степень \ Delta или независимый набор размером \ alpha . Чтобы быть последовательным, Я не должен использовать « n -vertex graph», если где-то еще я использую « n (G) » для обозначения порядка произвольного графа G .

Обозначение m (G) страдает той же проблемой.Кроме того, иногда мы хотим использовать м как размер набора вершин или n как размер подмножества вершин, как в K _{n, n} , К _{м, м} и др. Общий К _{м, н} можно менять на K _{r, s} и т. д. Однако есть еще хорошая мотивация для обсуждения подграфов K _{n, n} , поскольку они соответствуют двоичным матрицам порядка n , и их идеальные совпадения соответствуют к перестановкам [ n ].

Второстепенный недостаток, отмеченный Стивеном Хартке, заключается в том, что « м » звучит слишком похоже на « n » в контексте класса. К счастью, мы не нужно м как часто, и надеюсь что в классе легко будет добавить «количество граней», чтобы избежать путаницы.

v (G) и e (G) С этой записью можно было бы избежать дополнительного шага использования мощности символы. Кроме того, хотя здесь вводятся дополнительные обозначения, многие математики любят использовать прописные буквы для обозначений множеств и соответствующих строчные буквы для их размеров.Кроме того, эта опция позволяет использовать обычные n и m записав n = v (G) и m = e (G) без путаницы. Мне сказали, что Бонди и Мурти используют эту опцию в их готовящееся второе издание. Уол Уоллис использует v и e (но а не v (G) и e (G) ), отмечая, что v — это буква в дизайне теория, которая соответствует обычному использованию n в теории графов.

Основное возражение против этого варианта состоит в том, что мы хотим иметь v и e доступен для отдельных вершин и ребер.Хотя читатели может определить значение по тому, следует ли за обозначением круглые скобки и название графика, многие респонденты считают, что это кратное Смысл персонажей — серьезный недостаток.

\ nu (G) и \ epsilon (G) Я думаю, что Бонди и Мурти представили \ nu (G) и \ epsilon (G) в их первое издание, чтобы избежать недостатков n (G), m (G), v (G), e (G) упомянутый выше. По счастливой случайности \ nu вызывает в памяти оба v и n .Тем не менее, некоторые считают, что порядок и размер слишком важно иметь такие причудливые обозначения, как греческие буквы.

Между тем, были и другие варианты использования \ nu (G) и \ epsilon (G) . в качестве параметров, таких как номер пересечения, номер вершинного покрытия, номер совпадения, эксцентриситет и т. д. Думаю, эти трудности можно преодолеть: пересечение номер перемещается на cr (G) , для вершинного покрытия я использую \ beta (G) , совпадающий (независимый от края) номер должен быть альфа ‘(G) по аналогии с краевое хроматическое число chi ‘(G) , а эксцентриситет часто не нужен.

Из вариантов в функциональном виде это единственный, который не создает математические несоответствия с другими условными обозначениями. К несчастью, эта нотация не прижилась, особенно в информатике. Главный Возражение против его использования состоит в том, что никто не использует его сейчас, даже его создатели.

|

G | и || G || Этот вариант вызвал наибольшее увлечение; сторонники твердо стоят за этим, но это получил больше категорических отказов, чем любой другой вариант.Это позволяет избежать трудностей имеет несколько значений для обозначений в теории графов (почти) и кажется удобный. Однако граф не является ни множеством, ни точкой в ​​метрическом пространстве, так что это обозначение несовместимо с другой математикой. Более серьезный источник путаницы в том, что нам все еще нужен символ мощности. Например, мы хочу написать | N (S) | \ ge | S | при обсуждении теоремы Холла.

Возможно, злоупотребление обозначениями не так уж плохо, поскольку символы обозначают размеры двух наборов, которые вместе образуют G .Кирстед отмечает, что для модели теоретики граф G с набором вершин V модель с вселенной V , а они используют | G | для размера вселенной модели G . В каком-то смысле || G || будет соответствовать этому. (Он также шутит со своими учениками, что количество лиц на плоском графике G можно обозначить ||| G |||).

С другой стороны, | V (G) | и | E (G) | похожи на это и полностью ясен, но не длиннее, и некоторые пользователи опасаются путаницы между | G | и || G ||.Были случаи, когда || S || Для обозначения использовался размер набора S .

Тензорная нотация (основы)

Введение

Введена тензорная (или индексная, или указательная, или эйнштейновская) нотация. на предыдущих страницах при обсуждении векторов и матриц. На этой странице рассматриваются основы, представленные на этих страницах, а на следующей странице более подробно рассказывается о пользе и силе тензорной нотации.

Эта страница почти повторяет сегменты тензорной записи предыдущих страниц. дословно.Если вы их уже читали, то здесь нет ничего нового. Вы можете перейти на следующую страницу, в котором рассматриваются более сложные темы тензорной нотации.

---

Соглашение о суммировании

Тензорная запись вводит одно простое рабочее правило. Это автоматически суммируйте любой индекс, встречающийся дважды, от 1 до 3.

Таким образом, \ (a_i b_j \) просто произведение двух компонент вектора, компонент i ^th \ ({\ bf a} \) вектор с j ^-й компонентой вектора \ ({\ bf b} \).Однако \ (a_i b_i \) — совершенно другое животное, потому что нижний индекс \ (i \) встречается в этом термине дважды. Следовательно, \ (a_i b_i \) автоматически расширяется до и является сокращением для …

\ [ a_i b_i \ эквив a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]
, который является просто скалярным произведением векторов \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \). Обратите внимание, что в качестве индекса можно использовать любую букву (как в данном случае было \ (i \)), однако, чтобы вызвать автоматическое суммирование, очень важно чтобы в обоих нижних индексах использовалась одна и та же буква.

---

Дельта Кронекера

Тензорная нотация вводит в микс два новых символа: дельту Кронекера, \ (\ delta_ {ij} \) и тензор переменных или перестановок, \ (\ epsilon_ {ijk} \). Дельта Кронекера, \ (\ delta_ {ij} \), служит единичной матрицей, \ ({\ bf I} \), потому что он равен 1, когда \ (i = j \), и 0 в противном случае. Таким образом, в матрице, индексированной \ (i \) и \ (j \), диагональные компоненты равны 1 а недиагональные компоненты равны 0.

Это матрица или нет?

Записка из чистейшего… Единичная матрица — это матрица, но технически дельта Кронекера — нет. \ (\ delta_ {ij} \) — одно скалярное значение, равное 1 или 0 в зависимости от значений \ (i \) и \ (j \). Или подумайте об этом как об отдельном компоненте единичной матрицы \ ({\ bf I} \). По этой же причине тензорные обозначения не выделено жирным шрифтом, потому что это всегда относится к отдельным компонентам тензоров, но никогда к вектору, матрице или тензору в целом.

Перейти по этой ссылке для увлекательной дискуссии между кем-то, кто получает это, а кто-то другой — нет.

Дельта Кронекера стихи Дельта Дирака

Не путайте дельту Кронекера, \ (\ delta_ {ij} \), с дельтой Дирака, \ (\ delta _ {(t)} \). Дельта Дирака — это совсем другое. Часто используется при обработке сигналов и равно 0 для всех \ (t \), кроме \ (t = 0 \). При \ (t = 0 \) он приближается к \ (\ infty \) таким образом, что

\ [ \ int f (t) \ delta _ {(t)} dt = f (0) \]

---

Тензор переменного тока

Переменный тензор , \ (\ epsilon_ {ijk} \), используется в перекрестных произведениях следующее.\ ( c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ qquad \) соответствует \ ( \ qquad {\ bf c} = {\ bf a} \ times {\ bf b} \)

, где \ (\ epsilon_ {123} = \ epsilon_ {231} = \ epsilon_ {312} = 1 \), а \ (\ epsilon_ {321} = \ epsilon_ {213} = \ epsilon_ {132} = -1 \), а все остальные комбинации равны нулю. Суммирование \ (j \) и \ (k \) индексы от 1 до 3 подразумеваются, потому что они повторяются как индексы. Другими словами, это сокращение от

\ [ \ matrix { c_i \; знак равно \ epsilon_ {ijk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {i11} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {i12} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {i13} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {i22} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {i23} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {i32} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {i33} a_3 b_3 } \]
Уравнение остается общим до тех пор, пока не будет выбран конкретный компонент для оценки \ (i \).

Перекрестные произведения с использованием тензорной нотации

Установите \ (i = 3 \), чтобы получить компонент перекрестного произведения z ^th .

\ [ \ matrix { c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {311} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {312} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {313} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {321} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {322} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {323} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {331} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {332} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {333} a_3 b_3 } \]
Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух. Это оставляет

\ [ c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k \; знак равно a_1 b_2 — a_2 b_1 \]
, что согласуется с детерминантным результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x ^th и y ^th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 2 соответственно.

---

Сложение векторов и тензор

Сложение векторов и тензорных чисел записывается в тензорных обозначениях просто как

\ [ c_i = a_i + b_i \ quad \ quad \ text {и} \ quad \ quad c_ {ij} = a_ {ij} + b_ {ij} \]


---

Продукты Vector Dot

Скалярное произведение векторов \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \) записывается в тензорной записи просто как \ (a_i b_i \).Подразумевается суммирование от 1 до 3. потому что нижний индекс (\ (i \) в данном случае) появляется дважды (на \ (a \) и \ (b \)). Другими словами:

\ [ a_i b_i \ эквив a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]
Обратите внимание, что в качестве индекса можно использовать любую букву (как в данном случае было \ (i \)), однако, очень важно, чтобы одна и та же буква использовалась в обоих нижних индексах, чтобы вызвать автоматическое суммирование.

---

Векторное произведение

Переменный тензор , \ (\ epsilon_ {ijk} \), используется в перекрестных произведениях следующее.(Да, это повторяет приведенный выше раздел чередующегося тензора.)

\ [ c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \]
где \ (\ epsilon_ {123} = \ epsilon_ {231} = \ epsilon_ {312} = 1 \), а \ (\ epsilon_ {321} = \ epsilon_ {213} = \ epsilon_ {132} = -1 \), а все остальные комбинации равны нулю. Суммирование \ (j \) и \ (k \) индексы от 1 до 3 подразумеваются, потому что они повторяются как индексы в приведенном выше уравнении. Другими словами, это сокращение от

\ [ \ matrix { c_i \; знак равно \ epsilon_ {ijk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {i11} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {i12} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {i13} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {i22} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {i23} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {i32} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {i33} a_3 b_3 } \]
Уравнение остается общим до тех пор, пока не будет выбран конкретный компонент для оценки \ (i \).

Перекрестные произведения с использованием тензорной нотации

Установите \ (i = 3 \), чтобы получить компонент перекрестного произведения z ^th .

\ [ \ matrix { c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k & = & \ epsilon_ {311} a_1 b_1 & + & \ epsilon_ {312} a_1 b_2 & + & \ epsilon_ {313} a_1 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {321} a_2 b_1 & + & \ epsilon_ {322} a_2 b_2 & + & \ epsilon_ {323} a_2 b_3 & + & \\ & & \ epsilon_ {331} a_3 b_1 & + & \ epsilon_ {332} a_3 b_2 & + & \ epsilon_ {333} a_3 b_3 } \]
Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух. Это оставляет

\ [ c_3 \; знак равно \ epsilon_ {3jk} a_j b_k \; знак равно a_1 b_2 — a_2 b_1 \]
, что согласуется с детерминантным результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x ^th и y ^th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 2 соответственно.

Следующий пример вычисления площади треугольника иллюстрирует важный свойство тензорной записи, а именно, что индексы диктуют суммирование и порядок умножения, а не порядок, в котором написаны термины.

Площадь треугольника, ограниченного с двух сторон векторами \ ({\ bf a} \) и \ ({\ bf b} \), равна

\ [ Площадь = {1 \ более 2} | \, {\ bf a} \ times {\ bf b} | \]
В тензорных обозначениях это записывается в два этапа как

\ [ c_i = \ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ quad \ quad \ quad \ text {и} \ quad \ quad \ quad Площадь = {1 \ более 2} \ sqrt {c_i c_i} \]
или в одном уравнении как

\ [ Площадь = {1 \ более 2} \ sqrt {\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ epsilon_ {imn} a_m b_n} \]
Обратите внимание, что каждый индекс появляется дважды в приведенном выше уравнении, потому что по соглашению не разрешается появляться более 2 раз.

Порядок факторов в тензорной записи

Тензорная нотация позволяет повысить гибкость порядка, в котором факторы записываются, чем разрешено в векторной записи. Например, \ ({\ bf a} \ times {\ bf b} \) не равно \ ({\ bf b} \ times {\ bf a} \), хотя они тесно связаны. Наоборот \ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \) равно \ (\ epsilon_ {ijk} b_k a_j \) равно \ (a_j b_k \ epsilon_ {ijk} \), потому что порядок работы диктуется индексы, а не порядок, в котором написаны коэффициенты.Итак, в приведенном выше обсуждении \ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k \ epsilon_ {imn} a_m b_n \) можно также записать как \ (\ epsilon_ {ijk} \ epsilon_ {imn} a_j b_k a_m b_n \). Это просто вопрос личных предпочтений.

---

Векторные диадические продукты

Тензорная запись диадического произведения не может быть проще.

\ [ c_ {ij} = a_i b_j \]

Пример двоичного продукта

Если \ ({\ bf a} = (3, 7, 2) \) и \ ({\ bf b} = (1, 2, 3) \), то диадическое произведение из двух

\ [ \ begin {eqnarray} {\ bf a} \ otimes {\ bf b} & = & \левый[ \ matrix { 3 * 1 и 3 * 2 и 3 * 3 \\ 7 * 1 и 7 * 2 и 7 * 3 \\ 2 * 1 и 2 * 2 и 2 * 3 } \Правильно] \\ \\ \\ знак равно \левый[ \ matrix { 3 и 6 и 9 \\ 7 и 14 и 21 \\ 2 и 4 и 6 } \Правильно] \\ \ end {eqnarray} \]
Тензорная запись указывает, что значение любого компонента \ (c_ {ij} \) просто \ (a_i b_j \). {\! — 1} _ {ij} \).{-1} _ {ij} = {1 \ over 2 \, \ text {det} ({\ bf A})} \ epsilon_ {jmn} \, \ epsilon_ {ipq} A_ {mp} A_ {nq} \]


---

Умножение матриц

Скалярное произведение двух матриц умножает каждую строку первой на каждый столбец. второй. Продукты часто записываются с точкой в ​​матричных обозначениях как \ ({\ bf A} \ cdot {\ bf B} \), но иногда пишется без точки как \ ({\ bf A} {\ bf B} \). Умножение На самом деле правила лучше всего объяснить с помощью тензорной записи.

\ [ C_ {ij} = A_ {ik} B_ {kj} \]
(Обратите внимание, что в тензорной записи точка не используется.) Из \ (k \) в обоих множителях автоматически следует

\ [ C_ {ij} = A_ {i1} B_ {1j} + A_ {i2} B_ {2j} + A_ {i3} B_ {3j} \]
, который является строкой i ^-й первой матрицы, умноженной на столбец j ^-й таблицы вторая матрица. Если, например, вы хотите вычислить \ (C_ {23} \), тогда \ (i = 2 \) и \ (j = 3 \), и

\ [ C_ {23} = A_ {21} B_ {13} + A_ {22} B_ {23} + A_ {23} B_ {33} \]

Пример умножения матриц

Если \ (\ quad {\ bf A} = \ left [ \ matrix { 1 и 2 и 3 \\ 4 и 2 и 2 \\ 2 и 3 и 4 } \ right] \ quad \) а также \ (\ quad {\ bf B} = \ left [ \ matrix { 1 и 4 и 7 \\ 2 и 5 и 8 \\ 3 и 6 и 9 } \ right] \ quad \) то \ (A_ {ik} B_ {kj} \) влечет

\ [ \левый[ \ matrix { 1 и 2 и 3 \\ 4 и 2 и 2 \\ 2 и 3 и 4 } \Правильно] \левый[ \ matrix { 1 и 4 и 7 \\ 2 и 5 и 8 \\ 3 и 6 и 9 } \Правильно] знак равно \левый[ \ matrix { 14 и 32 и 50 \\ 14 и 38 и 62 \\ 20, 47 и 74 } \Правильно] \]

Тензорная запись и программирование

Еще одно преимущество тензорной записи состоит в том, что она объясняет вам, как писать компьютерный код для этого.Обратите внимание, как индексы в примере FORTRAN ниже точно соответствует тензорной записи для \ (C_ {ij} = A_ {ik} B_ {kj} \). Это верно для всех операций с тензорной нотацией, а не только для этой матричной точки. продукт.

      подпрограмма aa_dot_bb (n, a, b, c)
      размерность a (n, n), b (n, n), c (n, n)
      делать я = 1, п
         сделать j = 1, n
            с (я, j) ​​= 0
            сделать k = 1, n
               c (i, j) = c (i, j) + a (i, k) * b (k, j)
            конец делать
         конец делать
      конец делать
      возвращение
      конец
 

---

Продукты с двойной точкой

Двойное скалярное произведение двух матриц дает скалярный результат.Он записывается в матричной записи как \ ({\ bf A}: {\ bf B} \). Еще раз, его вычисление лучше всего объяснить с помощью тензорной записи.

\ [ {\ bf A}: {\ bf B} = A_ {ij} B_ {ij} \]
Поскольку индексы \ (i \) и \ (j \) присутствуют в обоих множителях, они оба суммируются, чтобы получить

\ [ \ matrix { {\ bf A}: {\ bf B} \; знак равно A_ {ij} B_ {ij} \; знак равно A_ {11} * B_ {11} & + & A_ {12} * B_ {12} & + & A_ {13} * B_ {13} & + \\ & A_ {21} * B_ {21} & + & A_ {22} * B_ {22} & + & A_ {23} * B_ {23} & + \\ & A_ {31} * B_ {31} & + & A_ {32} * B_ {32} & + & A_ {33} * B_ {33} & } \]

Пример продукта с двойной точкой

Если \ (\ quad {\ bf A} = \ left [ \ matrix { 1 и 2 и 3 \\ 4 и 2 и 2 \\ 2 и 3 и 4 } \ right] \ quad \) а также \ (\ quad {\ bf B} = \ left [ \ matrix { 1 и 4 и 7 \\ 2 и 5 и 8 \\ 3 и 6 и 9 } \ right] \ quad \) тогда

\ [ \ matrix { A_ {ij} B_ {ij} & = & 1 * 1 & + & 2 * 4 & + & 3 * 7 & + \\ & & 4 * 2 & + & 2 * 5 & + & 2 * 8 & + \\ & & 2 * 3 & + & 3 * 6 & + & 4 * 9 \\ & \\ & = & 124 } \]

---

Дифференциация по времени

Дифференциация по времени может быть записана в нескольких формах. 2} \ right) \ qquad \ = \ qquad \ ddot {\ bf x} \ qquad = \ qquad \ ddot {x} _i \ qquad = \ qquad x_ {i , tt} \]
Можно использовать производную по \ (\; t \), или точку, которая, вероятно, является наиболее популярной, или запятую, которая является популярным подмножеством тензорной записи.Обратите внимание, что запись \ (x_ {i, tt} \) несколько нарушает правило тензорной записи двойных индексов, автоматически суммирующих от 1 до 3. Это потому, что время не имеет 3 измерения, как и пространство, поэтому подразумевается, что суммирование не производится.

---

Дифференциация по пространственным координатам

Дифференцирование скалярной функции \ (f ({\ bf x}) \) по \ (x_j \) есть

\ [ {\ partial f \ over \ partial x _ {\! j}} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad f _ {, \, j} \]
Дифференцирование вектора \ ({\ bf v} \) есть

\ [ {\ partial {\ bf v} \ over \ partial x _ {\! j}} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ left ({\ partial \, v_x \ over \ partial x _ {\! j}}, {\ partial \, v_y \ over \ partial x _ {\! j}}, {\ partial \, v_z \ over \ partial x_ {\! j}} \ right) \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad v_ {i, \, j} \]
Дифференцирование тензора \ (\ boldsymbol {\ sigma} \) есть

\ [ {\ partial \ boldsymbol {\ sigma} \ over \ partial x _ {\! k}} \ qquad \ qquad \ text {или} \ qquad \ qquad \ sigma_ {ij, k} \]
Как и в случае с векторами, каждый компонент тензора дифференцируется.

---

Дивергенция

Расхождение вектора — это скалярный результат. Он записывается как \ (v_ {i, i} \) и вычисляется как

\ [ \ begin {eqnarray} v_ {i, i} & = \; & {\ partial v_1 \ over \ partial x_1} + {\ partial v_2 \ over \ partial x_2} + {\ partial v_3 \ over \ partial x_3} \\ \\ знак равно & {\ partial v_x \ over \ partial x} + {\ partial v_y \ over \ partial y} + {\ partial v_z \ over \ partial z} \ end {eqnarray} \]
Как указано выше, расходимость записывается в тензорной записи как \ (v_ {i, i} \).3 — я) \ quad = \ quad 6x — 1 \]

---

Завиток

Ротор вектора записывается в тензорной записи как \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \). Важно понимать, что вектор здесь записывается как \ (v_ {k, j} \), а не \ (v_ {j, k} \). Это потому, что локон равен \ (\ nabla \ times {\ bf v} \), а не \ ({\ bf v} \ times \ nabla \).

Как и в случае с перекрестными произведениями, тот факт, что \ (j \) и \ (k \) встречаются дважды в \ (\ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} \) означает, что оба автоматически суммируются от 1 до 3.Термин расширяется до

\ [ \ matrix { \ epsilon_ {ijk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {i11} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {i12} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {i13} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {i21} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {i22} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {i23} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {i31} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {i32} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {i33} v_ {3,3} } \]

Локоны с использованием тензорной записи

Чтобы получить компонент y ^th curl, установите \ (i \) равным 2 в приведенном выше уравнении.

\ [ \ matrix { \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} & = & \ epsilon_ {211} v_ {1,1} & + & \ epsilon_ {212} v_ {2,1} & + & \ epsilon_ {213} v_ {3,1} & + & \\ & & \ epsilon_ {221} v_ {1,2} & + & \ epsilon_ {222} v_ {2,2} & + & \ epsilon_ {223} v_ {3,2} & + & \\ & & \ epsilon_ {231} v_ {1,3} & + & \ epsilon_ {232} v_ {2,3} & + & \ epsilon_ {233} v_ {3,3} } \]
Все индексы теперь указаны, и это позволяет вычислять все чередующиеся тензоры.Все они будут равны нулю, кроме двух, оставив

\ [ \ epsilon_ {2jk} v_ {k, j} \; знак равно v_ {1,3} — v_ {3,1} \; знак равно {\ partial \, v_x \ over \ partial z} — {\ partial \, v_z \ over \ partial x} \]
, что снова согласуется с определяющим результатом (как и должно быть). Результаты для компонентов x ^th и z ^th получаются установкой \ (i \) равным 1 и 3 соответственно.

---

Лапласиан

Лапласиан — это дивергенция градиента функции.3 — z \ cos (y), — \ sin (y) \ right) \]
И дивергенция градиента (который в конце концов является лапласианом) равна

\ [ е, _ {ii} = \ nabla \ cdot \ nabla f ({\ bf x}) = 12 x y + z \ sin (y) \]

---

Производные продукции

Правило продукта применяется к производным финансовым инструментам. векторных (и тензорных) произведений так же, как это верно для скалярных произведений. Примеры включают градиент точечного произведения

\ [ (a_i b_i), _ j = a_ {i, j} b_i + a_i b_ {i, j} \]
производная от перекрестного произведения

\ [ (\ epsilon_ {ijk} a_j b_k), _ m = \ epsilon_ {ijk} a_ {j, m} b_k + \ epsilon_ {ijk} a_j b_k, _m \]
и производное диадического произведения.

\ [ (a_i b_j), _ k = a_ {i, k} b_j + a_i b_ {j, k} \]


.

No related posts.